수학이란 무엇인가? 가장 흔한 대답은 "수에 관한 연구"일 것이다.
그러나 이 답은 이미 오래전에 틀린 답으로 판결이 났다.
따라서 이 책에서는 오늘날 수학이 무엇을 다루는지에 대한 개관을 제공한다.


과거와 달리 현재는 수학을 패턴이라고 정의하고 있으며, 인간의 사유와 의사소통과 컴퓨터와 사회와 생명 자체의 본질이 바로 수학적 패턴이라고 정의된다.
"패턴의 과학인 수학은 세계를, 즉 밖으로는 물리적 생물학적 사회적 세게와 안으로는 우리의 정신과 사유의 세계를 보는 방식."으로 대변된다.
새로운 수학적 개념 전달을 위해 셈의 패턴, 추론 및 의사소통의 패턴, 운동 및 변화의 패턴, 모양의 패턴, 대칭성 및 규칙성의 패턴, 위치의 패턴, 그리고 우주적 근본적 패턴 등 8가지의 주제를 다루면서 인간의 정신과 물리적 세계에 속한 수학적 패턴들의 심오하고 근본적인 지위를 반영하고 있다.

또한 수학의 역사적 발전 과정과 현재 이루어진 연구 성과를 명쾌하게 풀어놓고 있다.
우리가 누구인지, 우리가 살고 있는 이 세계는 무엇인지에 관한 탐색에서 수학이 얼마나 중요한 역할을 수행해왔는지 밝혀내고, 오늘날 우주론까지 확장된 복잡한 수학의 새로운 이론들에 관해 명료하게 설명하고 있다.

수학의 추상 수준이 높아짐에 따라 수학자들은 추상적 집합 개념에 점점 의존하게 되었다('집합'은 어떠어떠한 대상들로 이루어진 임의의 모임을 가르키기 위해 도입된 전문 용어이다).
군, 정수 영역, 체, 위상 공간, 벡터 공간 등의 새로운 수학적 개념들이 도입되고 연구되었으며, 이 개념들 중 많은 부분이 대상들의 집합으로, 보다 분명히 말하자면, 특정한 연산들(다양한 종류의 덧셈과 곱셈같은 연산들)이 수행될 수 있는 대상들의 집합으로 정의되었다.

친숙하고 오래된 기하학 개념들, 예를 들어 직선, 원, 삼각형, 평면, 육면체, 팔면체 등은 각각의 특정 조건을 만족시키는 점들의 집합으로 새롭게 정의되었다.
또한 이미 보았듯이 불 역시 그의 대수학적 논리학에서집합을 이용하여 삼단논법을 탐구했다.

추상적 집합에 관한 최초의 완결된 수학적 이론은 19세기가 거의 끝날 무렵 독일 수학자 칸토르에 의해 이루어졌다.
물론 불의 연구 속에 집합 이론의 단초가 분명히 들어 있었지만 말이다.
칸토르의 이론의 기본 발상은 불의 삼단논법 연구에서도 찾아볼 수 있다.
칸토르 이론의 출발점은 '산술'을 개발하는 것이다.

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126~127

수학의 세계를 바라보는 새로운 시각 제시