소 개 ⅲ

제 0 장 영역별 문제집

대수 2
정수 3
도형 3
함수 8
경우의 수 · 확률 9

제 1 장 중학교 수학에서 즐길 수 있는 아름다운 정리

1 2차방정식의 해의 공식의 3가지 증명 14
2 피타고라스 정리의 4가지 아름다운 증명 17
3 수심의 존재에 대한 3가지 증명 21
4 중선정리(아폴로니우스 정리)의 3가지 증명 25
5 정오각형의 대각선의 길이와 작도방법 29
6 약수의 개수의 공식과 정사각수의 성질 32
7 가 무리수임을 보여주는 4가지 증명 35
8 이중근호를 어떻게 풀 수 있는가? 38
9 길의 방향의 경우를 수를 구하는 방법 42
10 정다면체의 종류가 5개인 것을 증명하는 2가지 46
11 테트리스 블록의 종류를 세는 문제 50

제 2 장 교과서의 공식들에 대한 조금 다른 공식들

12 기억하면 좋은 편리한 삼각비의 값 56
13 헤론의 공식을 증명한 예제 59
14 그래프의 평형이동의 증명과 예 64
15 지수함수의 그래프를 그리는 2가지 방법 67
16 부분분수의 해를 구하는 3가지 방법 71
17 인수분해공식(제곱의 차, 합) 75
18 켤레복소수에서 기억해야할 성질 78
19 이차함수의 결정과 배경 81
20 벡터의 내적을 이용한 코사인정리의 증명 85
21 여러 가지 삼각부등식(절대값 · 복소수 · 벡터) 89
22 2변수의 대칭식과 기본대칭식의 4가지 성질 93
23 1차부등식 의 정수해 97
24 외접원의 반지름과 삼각형의 넓이 관계 100

제 3 장 우아한 증명, 꾸준한 증명 어느 쪽이 좋을까?

25 점과 직선까지의 거리공식 3가지 증명 104
26 평면의 방정식을 구하는 3가지 방법 109
27 두 직선이 이루는 각을 구하는 2가지 방법 비교 113
28 체바의 정리 3가지 증명 118
29 프톨레마이오스 정리의 증명과 응용 예 122
30 프톨레마이오스부등식의 증명과 예 127
31 부등식 의 여러 가지 증명 131
32 네스빗(Nesbitt)부등식의 5가지 증명 134
33 원주율이 보다 큰 수의 여러 가지 증명 138
34 네제곱의 정리(도형의 넓이와 정사영) 143
35 소수가 무한하다는 아름다운 증명 147
36 소수의 간격은 최댓값이 없다는 3가지 증명 150
37 오일러의 다면체 정리의 증명 153

제 4 장 친근한 주제에 숨어있는 아름다운 정리와 공식

38 가위, 바위, 보에서 무승부가 될 확률을 구하는 방법과 값 158
39 생일이 같은 사람이 2인이 될 확률 알아보기 161
40 파산확률과 점화식 165
41 가위,바위,보 놀이의 최적 전략과 도쿄대학 입시문제 169
42 님(Nim) (여러 더미의 돌 잡기 게임)의 필승법 173
43 斜方投射(포물선운동)의 공식의 유도와 비거리를 늘이는 방법 178
44 루로삼각형과 정폭도형 182
45 4색정리의 소개와 5색정리의 증명 185
46 램지의 정리와 6명의 문제 189
47 평면그래프와 오일러정리의 응용 192

제 5 장 어려운 정리와 공식도 본질이 보이면 재미있다.

48 좌표에서 사면체의 부피를 구하는 공식 198
49 체비쇼프 다항식 202
50 가 무리수임을 증명하기 205
51 삼각형의 내각의 합 · 곱 공식 208
52 삼각형의 페르마 점의 3가지 증명 213
53 텐트(천막)사상과 성질(도쿄대학입시의 배경) 218
54 카르타노의 공식과 예 222
55 페르마의 수와 성질 226
56 카탈란 수의 의미와 점화식 229
57 폴리아의 항아리와 관련된 확률과 증명 233
58 전사의 개수의 증명과 벨 수 236
59 구면위의 삼각형의 넓이와 내각의 합 240
60 프랭크-몰리의 정리와 증명 244

색 인 248