★ Recommandé par le mathématicien Kim Min-hyung, le physicien Kim Hyeon-cheol et le directeur de l'Institut national des sciences mathématiques, Choi Yun-seong ★

« Comprendre l’essence des mathématiques ! »
Un maître en topologie et un professeur des Olympiades de mathématiques
47 promenades à travers les concepts mathématiques avec le professeur Song Yong-jin

Quelle image avez-vous des « mathématiques » ? La perception de chacun varie : un labyrinthe sans issue, un ami difficile mais attachant, ou un jeu amusant.
Une chose est claire : les mathématiques sont une matière difficile.
Même les concepts et les symboles qui paraissent simples sont en réalité des choses que d'innombrables mathématiciens ont travaillé dur à comprendre et à organiser.
C’est pourquoi les concepts fondamentaux des mathématiques ne sont pas faciles à comprendre et à acquérir.
Si vous avez déjà ressenti une détresse mentale en étudiant les mathématiques, c'est tout à fait normal.
Bien que difficiles à apprendre et à comprendre, les mathématiques sont une matière essentielle à nos vies.
C'est une matière obligatoire dans le cursus scolaire et elle ne peut être omise lorsqu'il s'agit d'expliquer les phénomènes économiques et sociaux ou les tendances historiques.
Il s'agit d'une discipline unique et d'un héritage intellectuel qui a évolué parallèlement à la civilisation humaine pendant des milliers d'années. Elle favorise également le développement de la logique, de l'esprit critique et des compétences en résolution de problèmes, compétences encore plus essentielles à l'ère de l'IA.
C’est pourquoi il est important de connaître les mathématiques, même si vous n’êtes pas spécialisé en sciences ou en ingénierie.
Mais comprenons-nous vraiment les mathématiques, une discipline si importante ? Face à une concurrence féroce, ne nous sommes-nous pas tellement concentrés sur la mémorisation de formules et la résolution de problèmes que nous n'avons presque plus le temps de les comprendre ? Ne nous sommes-nous pas perdus dans l'épaisse canopée, à force de nous focaliser sur les arbres au lieu de voir la forêt ? Le professeur Song Yong-jin, expert mondialement reconnu en topologie et chef de la délégation coréenne aux Olympiades internationales de mathématiques pendant 30 ans, a écrit ce livre, « Promenade dans la forêt des mathématiques », pour étancher la soif de mathématiques ressentie par beaucoup.


L'auteur a consacré toute sa vie à l'avant-garde de l'enseignement des mathématiques et a sélectionné 47 concepts et principes que les étudiants en mathématiques trouvent curieux et difficiles à comprendre.
Il sélectionne avec soin les concepts mathématiques fondamentaux tels que les nombres réels, les ensembles et les fonctions, les limites et le calcul, et explique clairement leur véritable signification à l'aide d'analogies et d'exemples appropriés.
Je recommande ce livre non seulement aux étudiants en mathématiques ou à ceux qui préparent des concours d'entrée, mais aussi à toute personne curieuse et avide de connaissances en mathématiques.
Cet ouvrage est également recommandé aux éducateurs, notamment aux professeurs de mathématiques, car il offre des perspectives et des méthodes pour enseigner efficacement les mathématiques.

Bien que les mathématiques visent à trouver des solutions parfaites par une logique précise, le processus d'obtention des réponses est plus important que les réponses elles-mêmes.
Ce n'est pas très différent des mathématiques scolaires ou des mathématiques des examens d'entrée.
En mathématiques, lors d'une évaluation, il faut donc évaluer le processus qui permet d'arriver à la réponse, et non la réponse elle-même.
Ainsi, même si la réponse obtenue est erronée (en raison d'une simple erreur de calcul, etc.), vous devriez obtenir la note maximale si le processus pour parvenir à la réponse est correct.
Cette méthode est maintenue dans les épreuves descriptives telles que les 2e et 3e épreuves de l'Olympiade mathématique coréenne et de l'Olympiade mathématique internationale.
--- Extrait de la « Préface »

Si une IA pouvait résoudre des problèmes de mathématiques aussi bien que les élèves les plus doués, elle surpasserait rapidement tous les humains, mais ce n'est pas le cas actuellement.
C’est parce que l’IA présente une faiblesse fondamentale en matière de mathématiques spécialisées.
Contrairement au jeu de Go, les mathématiques possèdent des règles de jeu très complexes.
Il existe de nombreux domaines en mathématiques.
Il existe des centaines de domaines, et leur contenu et leur nature sont très diversifiés.
Il y aura donc, parmi ces domaines, des zones auxquelles l'IA pourra accéder relativement facilement et d'autres qui lui seront plus difficiles d'accès.
Les domaines faciles seront probablement ceux qui portent sur les calculs et l'obtention de réponses précises ou d'approximations, tandis que les domaines difficiles seront probablement ceux qui impliquent de nombreux concepts mathématiques abstraits.
--- « Partie 1, Chapitre 7.
À l'avenir, l'IA résoudra les problèmes mathématiques, n'est-ce pas ?

Pour faire court, la réponse à la question « Pourquoi 1 plus 1 est-il égal à 2 ? » est très simple.
La réponse est : « Parce que la définition de 2 est 1 plus 1. »
Autrement dit, il s'agit simplement du nombre 1+1 exprimé par le symbole et le nom 2.
Il en va de même pour le chiffre 3.
3 est simplement un nombre qui représente 1+1+1, ou 2+1.
Donc 1 plus 1 fait forcément 2 et ne peut être aucun autre nombre.
Alors pourquoi Russell et Whitehead se sont-ils donné tant de mal pour prouver ce simple fait ? Il y a une raison convaincante à cela.

--- « Partie 2, Chapitre 8.
« Est-ce que 1 + 1 peut faire 2 ou pas ? »

Les élèves sont habitués à utiliser le symbole (0, 1) comme sous-ensemble des nombres réels et sont convaincus de savoir ce que c'est.
Mais lorsque je demande à des étudiants (des étudiants universitaires) « Si x est un élément de l'ensemble (0, 1), alors que vaut x ? », curieusement, ils ne sont pas très doués pour répondre.
Il se peut que certains étudiants pensent : « Le professeur pose une question étrange » et soient incapables de répondre, mais il semble que beaucoup d'entre eux soient incapables de répondre parce qu'ils n'ont jamais pris dans leur tête la définition et le concept de (0, 1) et ne l'ont jamais exprimé en mots.
La réponse à cette question est, bien sûr, « x est un nombre réel supérieur à 0 et inférieur à 1 », et la réponse est en fait assez simple.
--- « Partie 3, 14.
Un ensemble est-il un concept nécessaire ?

La différentiation est le taux de variation instantané de la valeur de la fonction (en un point), et elle s'exprime comme la pente de la tangente à la courbe.
L'intégration, initialement conçue pour calculer l'aire (ou le volume) d'une région, ne semble avoir aucun lien avec la dérivation et l'intégration. Bien qu'elles partagent le principe de décomposer un nombre en éléments plus petits puis d'en calculer la limite, la nature des valeurs recherchées paraît totalement différente.
Historiquement, les mathématiciens ont considéré le concept d'intégration avant celui de différentiation.
Lorsqu'on calcule l'aire d'un objet (de même que la longueur d'une courbe ou le volume d'un objet), on a commencé, avec les mathématiciens grecs de l'Antiquité, à s'efforcer d'approximer l'aire totale en divisant l'objet en petits carrés et en additionnant leurs aires.
Le mathématicien représentatif est Archimède (287-212 av. J.-C.), considéré comme l'un des trois plus grands mathématiciens de l'histoire.
Il est bien connu qu'il connaissait exactement le volume d'une sphère et d'un cylindre (probablement par la méthode de la section).

--- « Partie 4, 24.
Pourquoi la différenciation et l'intégration vont-elles de pair ?

π est un nombre transcendant, il ne peut donc pas être construit à l'aide d'une règle et d'un compas.
La raison pour laquelle il est impossible de construire un segment de droite de longueur π à partir d'un segment de droite de longueur 1 en utilisant une règle et un compas est que le processus de recherche d'un nouveau point avec un compas et de tracé d'un segment de droite reliant les deux points ou de tracé d'un cercle peut tout cela peut être exprimé comme un « polynôme » de degré 2 ou inférieur.
Néanmoins, il arrive souvent que des gens prétendent avoir construit π.
Auparavant, lorsque les professeurs de mathématiques ne reconnaissaient pas leurs démonstrations, certains dépensaient des sommes considérables pour les faire publier dans les grands journaux.
--- « Partie 5, 36.
Extrait de « Qu'est-ce qu'un nombre transcendantal ? »

Quand les gens entendent le mot « infini », ils pensent généralement à l'infini (∞).
L'infini est un « nombre imaginaire » supérieur à tout nombre réel.
Cependant, en mathématiques, lorsque nous parlons d'infini, nous parlons généralement d'« ensembles » plutôt que de « nombres ».
Parlons maintenant des ensembles infinis.
Un ensemble infini est, bien sûr, un ensemble comportant une infinité d'éléments.
Si nous l'écrivons sous forme de symbole, l'ensemble A où |A|=∞ est appelé un ensemble infini.
Bien que l'infini ne soit pas un sujet abordé dans les programmes de mathématiques du secondaire, de nos jours, grâce à YouTube et aux documentaires, beaucoup de gens le connaissent plus ou moins ou s'y intéressent.
Commençons par expliquer la définition d'un ensemble infini et certaines de ses propriétés fondamentales.

--- « Partie 6, 45.
Dans l'infini, il y a des petits infinis et des grands infinis, n'est-ce pas ?