temps

Prologue : Où puis-je utiliser ceci ?

Partie 1 Linéarité
Chapitre 1 Moins de suédois
Chapitre 2 Localement rectiligne, globalement courbe
Chapitre 3 : Tous sont obèses
Chapitre 4 : Combien d'Américains sont morts ?
Une tarte plus grande qu'une assiette de 5

Partie 2 Inférence
Chapitre 6 : Le courtier de Baltimore et le code biblique
Chapitre 7 : Les poissons morts ne peuvent pas empoisonner
Chapitre 8 Démontrer en concluant avec une faible probabilité
Chapitre 9 Journal international de biologie moléculaire intestinale
Chapitre 10 : Dieu, es-tu là ? C’est moi, l’inférence bayésienne.

J'attends avec impatience la partie 3
Chapitre 11 : À quoi faut-il réellement s’attendre lorsqu’on espère gagner à la loterie ?
Chapitre 12 : Manquez encore plus de vols !
Chapitre 13 : Le point de rencontre des rails

Partie 4 : Régression
Chapitre 14 : Le triomphe de l'ordinaire
Chapitre 15 L'ellipse de Galton
Chapitre 16 : Le cancer du poumon vous incite-t-il à fumer ?

5 parties existence
Chapitre 17 : Il n'y a pas d'opinion publique.
Chapitre 18 [J'ai créé un étrange nouvel univers à partir de rien]

Épilogue : Comment avoir raison

Remerciements
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Note du traducteur

Comment ne pas se tromper

Le titre de ce livre est très inhabituel.
Par exemple, pourquoi [une loi qui n'est pas fausse] plutôt que [une loi qui peut être juste] ?
Nous comprenons les mathématiques, et plus largement la science, comme une discipline qui recherche [la bonne réponse].
Selon nous, la science devrait apporter des réponses.
Autrement dit, il répond à des questions comme celle de savoir s'il vaudrait mieux augmenter ou réduire les impôts dans le contexte économique actuel, quel sera le taux de mortalité dû à la tuberculose en 2050, et même s'il pleuvra mardi prochain.
Mais comme l'expérience nous l'a appris, même si nous pouvons prévoir le temps de la semaine prochaine dans une certaine mesure, nous n'avons aucune idée de la fiabilité de ces prévisions.
En gros, c'est la même chose pour les mathématiques.
Même si les mathématiques sont plus rigoureuses que toute autre discipline pour trouver des réponses, il est presque impossible de fournir des réponses correctes à de nombreux problèmes du monde réel.

Dans l'épilogue, Ellenberg cite l'exemple de Nate Silver, auteur de « The Signal and the Noise », qui avait prédit avec exactitude l'élection présidentielle américaine.
Pour induire en erreur, Silver n'a pas dit qui allait gagner.
Il a simplement montré le pourcentage de ceux qui étaient en tête dans chaque État, d'après les sondages d'opinion.
Il m'a indiqué quel pourcentage des chances de victoire d'Obama reposait sur des probabilités et des attentes, et il avait raison.
Autrement dit, Silver ne s'exprimait pas en fonction de ses propres convictions politiques, de ses croyances, de son intuition ou des résultats de ses prédictions instinctives, mais présentait plutôt des probabilités calculées à partir de données.
Et ce n'était pas [la bonne réponse], mais c'était vraiment [difficile de se tromper].
La réalité, c'est qu'il est très difficile même de [ne pas avoir tort].
Les individus modernes sont exposés à une multitude de faits et de données.
Si nous ne gérons pas correctement la situation, nous risquons de commettre des erreurs.
Les exemples présentés en introduction, concernant les généraux militaires obsédés par l'augmentation du taux de survie des avions de chasse pendant la Seconde Guerre mondiale, nous font prendre conscience de la facilité avec laquelle nous pouvons nous tromper.
Si nous ne traitons pas correctement les données, nous risquons de commettre des erreurs.
Pour éviter les erreurs, il faut formuler les bonnes hypothèses, sélectionner le bon ensemble de données et appliquer le bon algorithme.
C’est ce qu’Ellenberg entend par [pensée mathématique].
Il s'agit de reconnaître, de vérifier et de trouver des mécanismes permettant un jugement meilleur ou plus précis.

Bien sûr, nous pourrions simplement affirmer ce que nous pensons sans aucun fondement ou en interprétant les données à notre guise.
Mais nous ne voulons jamais nous tromper lorsqu'il s'agit de décider si des baisses ou des hausses d'impôts sont préférables pour stimuler l'économie, dans quel portefeuille d'actions investir ou quel candidat à la présidence bénéficie du plus grand soutien.
Pour ces personnes, la méthodologie présentée dans ce livre, [Comment ne pas se tromper], sera incroyablement utile.


Les mathématiques abordées dans ce livre

Dans cet ouvrage, Ellenberg divise les mathématiques en quatre grandes catégories : simples et complexes en termes de structure, et profondes et superficielles en termes de signification.
Les opérations arithmétiques de base comme 1+2=3 sont simples et superficielles.
Passons à la section complexe/superficielle : on y trouve des problèmes tels que la multiplication de deux nombres à dix chiffres, le calcul d’intégrales définies complexes et, pour ceux qui ont étudié pendant quelques années à l’université, la recherche de l’antidiagonale de Frobenius dans la forme modulaire du Conductor 2377.
Les problèmes de ce genre se situent naturellement quelque part entre la difficulté et l'impossibilité de les résoudre manuellement, et sous forme modulaire, il faut beaucoup d'étude rien que pour comprendre ce qui est attendu de vous.
Mais connaître ces réponses n'enrichira pas nécessairement votre compréhension du monde.
La section complexe/profonde est celle où les mathématiciens professionnels passent le plus clair de leur temps.
C'est ici que résident des théorèmes et conjectures célèbres tels que l'hypothèse de Riemann, le dernier théorème de Fermat, la conjecture de Poincaré, P contre NP, le théorème de Gödel...
Ces théorèmes concernent tous des concepts d'une signification profonde, d'une importance fondamentale, d'une beauté bouleversante et d'une complexité brutale, chacun méritant son propre ouvrage.
Mais ce ne sont pas les mathématiques dont traite ce livre.
Ce livre aborde des sujets simples mais profonds.
Les concepts mathématiques présentés ici sont accessibles à tous, de manière directe et profitable, qu'ils aient arrêté d'étudier les mathématiques avant d'atteindre l'algèbre ou qu'ils en aient appris davantage.
Et ces concepts sont des principes qui peuvent être appliqués largement au-delà des domaines que nous considérons habituellement comme relevant des mathématiques.

Sur la base de ces classifications, ce livre couvre les principaux sujets de [linéarité], [inférence], [régression], [espérance] et [existence].
En entrant dans le détail, nous pouvons entendre les réponses aux questions suivantes :
Que signifie exactement la régression vers la moyenne ? On dit souvent que corrélation n'est pas causalité, mais comment définit-on précisément la corrélation ? Quels critères les revues scientifiques utilisent-elles pour déterminer la significativité d'une étude avant sa publication ? Si une étude ne satisfait pas à ces critères, est-elle pour autant erronée ? Inversement, si une étude satisfait à ces critères, est-elle pour autant forcément correcte ? On attribue à George Stigler, prix Nobel d'économie, la citation suivante : « Si vous n'avez jamais raté un vol, c'est que vous avez perdu trop de temps à l'aéroport. » Qu'est-ce que cela signifie au juste ? Les mathématiciens affirment régulièrement que les billets de loterie sont un gaspillage d'argent, mais est-ce vraiment le cas ?
Corrélation, régression linéaire, valeur attendue, probabilités a priori et a posteriori, test de signification de l'hypothèse nulle… .
Ellenberg illustre à quel point ces concepts sont largement utilisés aujourd'hui, en citant des exemples tirés du basketball, du baseball, des jeux de loterie, de la révision de thèses et de la relation entre le tabagisme et le cancer du poumon.
Il souligne que sans ces concepts, nous ne pouvons pas comprendre ne serait-ce qu'un peu l'actualité moderne, les statistiques sportives ou les processus de prise de décision politiques et sociaux.
Il affirme également que dès que vous comprendrez vraiment ces concepts, vous vous rendrez compte du nombre d'erreurs et d'angles morts dont les auteurs des informations diffusées dans les médias et les cercles politiques n'avaient pas conscience.
Ce livre s'adresse donc aux gens ordinaires qui ne veulent pas se laisser berner par une rhétorique mathématique habile, mais surtout, il est indispensable aux journalistes, aux politiciens, aux spécialistes du marketing, aux enseignants et à tous ceux qui veulent éviter d'être dupés par les angles morts des outils mathématiques qu'ils utilisent.

Les mathématiques sont une extension du bon sens par d'autres moyens.

On a souvent tendance à considérer les mathématiques comme le domaine exclusif des génies.
Ellenberg le nie formellement.
Bien sûr, il existe de nombreux génies dans le monde des mathématiques.
Que pourraient être d'autre des personnes comme Ellenberg, prodige des mathématiques, ou Terry Tao, lauréat de la médaille Fields, sinon des génies ?
Mais comme l'écrit Ellenberg, il n'y a pas une seule personne au monde qui se regarde dans le miroir et murmure : « Soyons réalistes, je suis plus intelligent que Gauss. »
Pourtant, comparés à Gauss, tous ces imbéciles ont travaillé ensemble au cours des cent dernières années pour créer le corpus de connaissances mathématiques le plus riche de l'histoire.
À cet égard, Ellenberg affirme que les mathématiques sont une discipline d’effort.
Concentrer son attention et son énergie sur un seul problème, y réfléchir systématiquement et encore et encore, et surmonter les obstacles qui semblent exister, même en l'absence de signes visibles de progrès, est une compétence que tout le monde ne possède pas.
Les psychologues appellent cette capacité [la persévérance], et sans persévérance, on ne peut pas faire de mathématiques.
À l'inverse, quiconque possède cette attitude est capable de faire des mathématiques.
Autrement dit, selon lui, les mathématiques peuvent être [du bon sens].
Nous pouvons partir des calculs arithmétiques de base et progresser, dans une certaine mesure, vers les théories plus complexes des mathématiques modernes.
C’est précisément ce que ce livre vise à démontrer.
Dans quelle mesure ce livre a-t-il atteint son objectif ambitieux de révéler l'utilité, l'attrait et les écueils de la pensée mathématique en tant que bon sens ? En conclusion, il a parfaitement réussi.
Ce qui distingue ce livre des autres ouvrages de mathématiques populaires, c'est que l'auteur ne cède pas à la tentation de la simplification facile.
Par exemple, il est impossible d'expliquer l'inférence bayésienne, que l'on peut considérer comme la tendance de la théorie moderne des probabilités, de sorte que tout le monde puisse la comprendre immédiatement.
Certains domaines des mathématiques, notamment la théorie des probabilités et les statistiques, qui dépassent les capacités de nos maigres facultés cognitives humaines, sont difficiles à appréhender intuitivement.
L'explication ne peut donc pas être aussi simple.
Ce livre est honnête en ce qu'il n'élude ni ne feint la difficulté, et il réussit en ce qu'il explique cette histoire complexe de manière à ce que chacun puisse la suivre avec une concentration raisonnable.
Dans ce livre, par exemple, nous pourrons apprendre le calcul différentiel et intégral en une seule page, et nous pourrons également comprendre l'algèbre et les logarithmes en une seule page.
Vous apprendrez comment obtenir des points partiels à votre test de mathématiques, et vous découvrirez des démonstrations incroyablement ingénieuses et magnifiques, y compris [l'aiguille de Buffon].
Le chapitre 13, qui passe de la géométrie projective à la théorie de l'information, puis aborde brusquement le problème de l'empilement d'oranges aussi densément que possible, puis celui de la sélection de numéros de loterie sans chevauchement, et revient finalement à la géométrie, est un bon exemple des schémas selon lesquels les mathématiques pures et la réalité s'influencent et se développent, et c'est comme contempler un magnifique édifice.
L'auteur a déclaré que ce livre est le fruit du travail minutieux des éditeurs, qui ont peaufiné son intention première de « clamer haut et fort au monde combien les mathématiques sont merveilleuses », et les lecteurs qui liront jusqu'au bout seront certainement ravis que les éditeurs ne l'aient pas davantage raccourci.