Il n'y a jamais eu de livre de mathématiques aussi intéressant.
Commençons par la grammaire mathématique la plus simple.
Une histoire audacieuse qui transcende les axiomes et les probabilités pour accéder à des dimensions supérieures.

Lire d'un coup d'œil des nombres complexes, des calculs et des formules mêlés de symboles, ce n'est plus des maths ! Le jeune conteur mathématique à l'origine du « Livre des maths impertinentes » a intégré les mathématiques, souvent perçues comme difficiles et fastidieuses, dans l'histoire la plus divertissante au monde.
L'étude des probabilités à travers le principe des tiroirs de Dirichlet, la compréhension des points fixes avec la poudre dans une tasse, la question de savoir si une paille a 1, 2 ou 0 trous, et le fait que 0,9999... et 1 sont le même nombre deviennent des sujets très intéressants lorsqu'ils sont abordés à travers l'histoire de « Dimension ».
Il stimule votre cerveau avec des histoires inédites et vous aide à prendre conscience de vos aptitudes mathématiques cachées.

Ce livre explique des notions telles que « la différence entre convexe et concave », « pourquoi les dimensions supérieures sont difficiles à comprendre » et « quand le calcul différentiel et intégral est nécessaire », avec des explications claires et des illustrations faciles à comprendre.
Il vous ouvrira les portes des mathématiques grâce à son théorème minimal et à ses normes rigoureuses, et changera complètement le monde ennuyeux des mathématiques que vous connaissiez.

Qu'est-ce que les mathématiques ? Nous les avons tous étudiées à l'école, mais paradoxalement, très peu de gens comprennent vraiment ce que c'est.
Beaucoup de gens pensent à tort que les mathématiques se résument à calculer des nombres.
Cette idée fausse est manifeste dans les médias.
La plupart des génies des mathématiques dans les films et les séries télévisées sont dépeints comme des ordinateurs humains capables d'effectuer rapidement des calculs complexes.
Ils calculent mentalement la masse du ballon de basket et l'accélération due à la gravité juste avant de le lancer, et ils réussissent ainsi un tir à trois points parfait.
Mais l'idée que les mathématiciens sont doués pour les calculs est une grave erreur, pas différente de celle qui consiste à croire que les pianistes sont doués pour la fabrication de pianos.
En fait, les mathématiques pures sont l'un des domaines des sciences naturelles qui nécessitent le moins de calculs.
Cette idée fausse est particulièrement regrettable car elle conduit les gens à éviter les mathématiques, en les considérant comme une matière remplie de calculs fastidieux et de chiffres difficiles.
Les mathématiques ne sont absolument pas ce genre de matière.
C’est pourquoi ce livre ne contient aucun calcul numérique complexe.
--- pp.14~15

Toutes les langues sont composées de symboles et d'une grammaire.
L'anglais utilise l'alphabet latin, le coréen utilise le hangeul et le chinois utilise le hanja.
En arrangeant ces symboles selon la grammaire de chaque langue, on obtient une phrase complète.
De même, les mathématiques sont composées de plusieurs symboles et d'une grammaire.
Plus précisément, les mathématiques sont un langage composé de seulement six symboles, douze règles d'inférence et un ensemble d'axiomes correctement définis.
La seule chose qui distingue les mathématiques des autres langues, c'est qu'elles ne sont pas une langue de communication quotidienne, mais une langue servant à décrire le raisonnement logique.
Et pour que le raisonnement logique soit possible, nous devons pouvoir déterminer avec certitude si chaque phrase est vraie ou fausse.
Sans la moindre ambiguïté.
--- pp.24~25

Il y avait une question qui avait enflammé Internet.
La question était : « Y a-t-il un ou deux trous dans une paille ? »
N'est-il pas courant sur Internet de s'enthousiasmer pour des sujets aussi insignifiants ?
Premièrement, ceux qui affirment qu'il y a deux trous dans la paille disent qu'il y a un trou pour que la boisson entre et un trou pour que la boisson sorte, donc il y a deux trous au total.
Certains affirment qu'une paille n'a qu'un seul trou parce qu'une paille n'est qu'un long trou.
De plus, certains affirment que le nombre de trous est de 0.
On dit que les pailles n'ont pas de trous parce qu'elles sont fabriquées en enroulant un rectangle et non en perçant des trous dans les parois avec un objet comme un poinçon.
Étonnamment, ces trois affirmations contiennent toutes une part de vérité.

La controverse autour du nombre de trous dans une paille tient au fait que chacun a une définition légèrement différente de ce qu'est un trou.
Quelle est donc la définition correcte d'un trou ? D'un point de vue linguistique, cette question n'a aucun sens.
La définition du vocabulaire varie légèrement d'une personne à l'autre, il est donc difficile de dire quelle définition est la meilleure.
Ils ont tous raison.
Mais le point de vue mathématique est différent.
Les mathématiques, qui aiment définir clairement tous leurs termes, ont une définition stricte du terme « trou », et une seule est acceptée comme correcte.
Mais avant d'examiner comment définir un trou en mathématiques, essayons une approche logique.
--- pp.42~43

Alors, à quoi ressemble l'univers ? Une façon de calculer la courbure de l'univers, comme évoqué précédemment, consiste à dessiner un grand triangle dans l'espace, puis à calculer la somme de ses trois angles intérieurs.
Mais comme il est impossible de dessiner un grand triangle dans l'espace, les physiciens ont analysé l'apparence primitive de l'univers à partir du rayonnement de fond cosmique micro-ondes, et à partir de là, ils ont pu déduire les relations spatiales des points de l'univers.
Ces données nous ont permis de trouver la somme des trois angles d'un triangle qui répondrait à la question : « Que se passerait-il si vous dessiniez réellement un grand triangle dans l'espace ? »
De ce fait, on dit que l'univers est plat à ±0,4 pour cent près.
Une marge d'erreur de ±0,4 % pourrait la rendre plus plate que votre bureau.
Il est presque parfaitement plat.
Le fait que l'univers soit plat peut être un peu décevant pour ceux qui s'attendaient à un univers doté d'une structure curieuse.
Mais le fait que l'univers soit plat est encore plus choquant.
Comme mentionné précédemment, la structure de l'univers est déterminée par la quantité totale de matière et d'énergie qu'il contient, et pour que l'univers soit plat, ces facteurs doivent être parfaitement alignés.
Les physiciens sont perplexes face à la façon dont l'univers peut avoir une structure aussi parfaitement euclidienne, malgré une probabilité aussi faible.
L'idée qu'un être transcendant ait peut-être créé l'univers avec une telle perfection est glaçante.
--- p.84

Le nombre minimal de directions nécessaires pour exprimer la position d'un objet est appelé la dimension de cet espace.
Sur un plan, toute position peut être exprimée dans deux directions (horizontale/verticale).
Si vous l'exprimez comme « +2 m horizontalement, -1 m verticalement », vous pourrez exprimer toutes les positions sur le plan.
Le plan est donc bidimensionnel.
Par ailleurs, un solide nécessite trois directions (largeur/longueur/hauteur).
Par conséquent, le solide est tridimensionnel.
À quoi ressemblent les objets 1D et 0D ? Lorsqu’on dit qu’un objet ne peut se déplacer que dans une seule direction, on veut dire qu’il se déplace uniquement en ligne droite.
Autrement dit, la première dimension est une ligne droite.
Par ailleurs, l'absence de dimensionnalité signifie que les objets ne peuvent se déplacer dans aucune direction.
La dimension 0 est un point, ce qui signifie que l'objet est fixe.
--- pp.108~109

Du point de vue de créatures tridimensionnelles comme nous, nous voyons le trésor (carré violet) ainsi que le dispositif d'alarme (carré bleu) comme indiqué sur l'image ci-dessus.
Cependant, pour une créature en 2D, le trésor sera complètement caché par le dispositif d'alarme et ne sera pas visible.
Si vous regardez cette structure de leur point de vue, vous ne verrez que la ligne bleue qui délimite la structure.
Impossible de ne pas se rendre compte qu'un trésor se cache à l'intérieur.
Cependant, nous pouvons observer les objets dans une direction tridimensionnelle (hauteur) qui n'existe pas en deux dimensions, ce qui nous permet de vérifier simultanément l'extérieur (cadre) et l'intérieur (trésor à l'intérieur) du dispositif d'alarme.
De même, alors que nous, êtres tridimensionnels, ne pouvons voir que l'extérieur du système d'alarme, un être quadridimensionnel regardant le cube suivant serait capable de voir à la fois l'intérieur et l'extérieur du cube, d'une manière que nous ne pouvons pas facilement imaginer.
De plus, pour un être quadridimensionnel, nos visages et les organes à l'intérieur de notre corps seront visibles simultanément, et nous pourrons voir qui habite dans quelle maison, et même la structure de la Terre d'un seul coup d'œil.
Un espace où l'on peut sortir des objets enfermés dans une boîte, et même un espace où l'on peut voir à la fois l'intérieur et l'extérieur.
La quatrième dimension dégage un étrange sentiment de mystère et stimule notre imagination quant à l'immensité de l'espace au-delà de notre perception.
Si vous ajoutez une nouvelle direction à la quatrième dimension, vous obtenez la cinquième dimension, et vous pouvez ainsi continuer jusqu'aux sixième et septième dimensions, mais dans ce livre, nous nous concentrerons sur la quatrième dimension.
(C'est déjà assez amusant en 4 dimensions !)
--- pp.113~114

Jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés sur des objets algébriques, tels que l'ensemble des nombres naturels ou l'ensemble des entiers.
L'ensemble des entiers est deux fois plus grand que l'ensemble des nombres naturels, mais les bases sont les mêmes.
La même logique s'applique aux objets géométriques.
Par exemple, deux sphères ont deux fois plus de points qu'une seule sphère, mais deux sphères et une seule sphère ont toutes deux des points de base ?1.
Ne serait-il pas alors possible de découper une seule sphère en plusieurs morceaux, puis de les réassembler pour en former deux ? De la même manière que l’hôtel Hilbert, qui affiche complet, propose un nombre infini de chambres supplémentaires.
Stefan Banach et Alfred Tarski, qui se sont penchés sur ce problème, ont démontré que c'était effectivement possible.
La conclusion de Banach et Tarski était tellement contre-intuitive qu'elle fut qualifiée de « paradoxe », même s'il s'agissait d'un théorème correct.
--- p.174

Avez-vous déjà imaginé, enfant, qu'en creusant profondément dans le sol, vous finiriez par ressortir de l'autre côté de la Terre ? Plus tard, en étudiant les sciences de la Terre, vous apprendriez qu'un tel tunnel est impossible, mais cela reste une fantaisie fascinante.
L'un des problèmes célèbres de la physique consiste à calculer combien de temps il faudrait à un colis pour atteindre l'autre côté de la Terre s'il était lâché dans un tunnel traversant le centre de la Terre.
Étonnamment, cela ne prend que 42 minutes, quel que soit le poids du colis.
Si nous parvenons à construire un tel tunnel ultérieurement grâce à des prouesses technologiques incroyables, ce sera un service rapide révolutionnaire.
Malheureusement, même si la technologie nécessaire à la construction d'un tel tunnel était développée, il est peu probable qu'un service de transport rapide transcontinental soit mis en place à Séoul.
Parce que la mer se trouve de l'autre côté de Séoul.
L'Argentine et l'Uruguay ne sont pas loin l'une de l'autre, mais elles sont malheureusement désynchronisées.
Le seul endroit susceptible de devenir le premier point de desserte express directe de Corée est l'île de Jeju.
L'île de Jeju bénéficie d'une situation géographique très avantageuse, car elle est bordée de l'autre côté par la frontière entre le Brésil et l'Uruguay.
On dit que lorsqu'un tunnel est creusé à travers la Terre, les deux points situés à chaque extrémité du tunnel sont en relation d'antipodes.

--- pp.229~230

Timo, passionné de livres, a décroché un emploi de bibliothécaire.
Un jour, la bibliothèque a acheté 1 000 nouveaux livres.
Timo était enthousiaste à l'idée d'avoir accès à davantage de livres, mais lorsque les 1 000 volumes sont réellement arrivés, il s'est rendu compte du problème.
Timo doit maintenant trier 1 000 livres par numéro de code de bibliothèque.
Quel algorithme permettrait de trier des livres le plus rapidement possible ?
Le premier algorithme qui vint à l'esprit de Timo était :
Comparez les numéros de code du premier et du deuxième livre de la pile.
Parmi ceux-ci, le livre portant le numéro le plus bas est laissé tel quel, et le livre portant le numéro le plus élevé est comparé au troisième livre.
De même, nous laissons de côté les livres portant les numéros les plus bas et comparons les livres portant les numéros les plus élevés avec le quatrième livre.
Si vous continuez ainsi, le livre portant le numéro le plus élevé sera déplacé tout à la fin.
En répétant ce processus une fois de plus, le deuxième plus grand livre se retrouvera en avant-dernière position, et en le répétant mille fois, tous les livres seront triés.
L'algorithme de tri qui réalise cela s'appelle le tri à bulles.
--- pp.276~277

Dimen, qui était partie en voyage pour la première fois depuis longtemps, se sentait fatiguée au volant et décida de boire un café.
Mais j'ai cherché partout et je n'ai trouvé aucun café.
En me promenant, j'ai soudain aperçu un groupe de cafés que je n'avais jamais vus auparavant.
Starbucks, Coffee Bean, Tous Les Jours, Ediya… toutes sortes de cafés sont réunis ici.
Bien qu'ils aient heureusement trouvé un café, Dimen commence à être insatisfaite.
Si les cafés sont répartis uniformément dans le quartier, les consommateurs pourront les trouver plus facilement et les commerces pourront éviter la concurrence.
Les cafés ne sont pas les seuls secteurs d'activité à apprécier la promiscuité.
Qu'il s'agisse de restaurants, d'hôpitaux, d'immobilier ou d'hôtels, les entreprises préfèrent être regroupées en un seul endroit plutôt que réparties uniformément.
Pourquoi donc?
Pour répondre à cette question, imaginons une ville hypothétique.
Dans ce village, huit consommateurs vivent à égale distance les uns des autres le long d'une route droite.
Si Dimen voulait vendre des bungeoppang (pains en forme de poisson) dans cette ville, quel serait un bon emplacement ? De toute évidence, il devrait choisir un emplacement central, au plus près de ses huit clients.
Dimen prend place au milieu et commence à vendre du bungeoppang avec diligence.
Il s'agit d'un oligopole où une seule entreprise vend le produit à tout le monde.
--- pp.298~299

On dit souvent que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation.
De même que la division est l'opération inverse de la multiplication, et la soustraction l'opération inverse de l'addition.
Ce n'est pas une affirmation fausse, mais ce n'est pas une explication souhaitable pour une première approche de l'intégration.
Car la définition même de l'intégration n'a rien à voir avec la différenciation.
La division est l'opération inverse de la multiplication, et la soustraction est l'opération inverse de l'addition.
C'est la définition même de la division et de la soustraction.
Cependant, l'intégration est un concept initialement conçu dans un domaine très différent de celui de la différenciation.
Mais je me suis alors rendu compte que la différentiation et l'intégration étaient des opérations inverses.
Le fait que l'intégration soit l'opération inverse de la dérivation n'est pas une définition de l'intégration, mais un théorème qui a été démontré par une démonstration mathématique.
L'intégration est un concept conçu pour calculer l'aire et le volume d'une forme.
On peut facilement calculer l'aire de formes dessinées avec des lignes droites, comme des triangles ou des carrés.
Même si le nombre de côtés d'une figure augmente, vous pouvez trouver son aire totale en la divisant en plusieurs triangles, puis en additionnant les aires de chaque triangle.
--- p.344

Edward Norton Lorenz était un mathématicien et météorologue actif au milieu du XXe siècle.
Lorenz s'intéressait à l'utilisation des données pour prédire la météo.
Un jour de 1961, Lorenz effectuait une simulation météorologique informatique en utilisant 12 variables, dont la température et l'humidité.
Après avoir obtenu les résultats, il a relancé la simulation avec les mêmes valeurs initiales (peut-être pour vérifier qu'il n'y avait pas d'erreurs dans les résultats de la simulation).
Cependant, de manière inattendue, les résultats de la seconde simulation étaient très différents de ceux de la première.
Bien que les deux simulations aient débuté avec des conditions météorologiques identiques, après un certain temps, la première simulation a affiché une journée ensoleillée, tandis que la seconde a affiché une journée nuageuse.
Au début, j'ai cru qu'il s'agissait d'un dysfonctionnement informatique.
Mais j'ai beau avoir vérifié, l'ordinateur fonctionnait parfaitement.
Ce n'est que plus tard que Lorenz a compris pourquoi ces résultats s'étaient produits.
Lorenz a utilisé le rapport de la première simulation pour définir les valeurs initiales de la seconde simulation.
Cependant, les calculs informatiques internes du programme de simulation prennent en compte jusqu'à 6 décimales, mais lors de l'affichage, seules 3 décimales sont affichées.
La valeur que Lorenz a définie comme valeur initiale pour la deuxième simulation était de 0,506, qui avait été calculée comme étant de 0,506127 dans la première simulation.
La différence entre les deux valeurs initiales n'était que de 1/4000, mais cette erreur s'est transformée en une différence très importante au fil du temps.
Lorenz a nommé ce phénomène, où de très petites erreurs se transforment en grandes différences, le chaos.
--- pp.361~362

Le libre arbitre est une merveilleuse illusion d'optique.
Du fait du grand nombre de facteurs externes qui influencent la conscience humaine (les informations sensorielles, notamment la vue et l'odorat, l'activité électrique des neurones et les réactions chimiques des hormones dans le corps, les paires de bases inscrites dans l'ADN et les caractéristiques génétiques qui en résultent, etc.), nous croyons à tort que nos propres décisions relèvent de notre libre arbitre.
Même si vous décidez de votre dîner ce soir en lançant une pièce pour échapper aux chaînes du déterminisme, l'idée même de choisir votre dîner en lançant une pièce est déjà une décision.
En gros, nous sommes juste des boules de protéines qui roulent dans un flipper appelé l'univers.
D'une part, cette conclusion semble exprimer un sentiment d'impuissance face à la vie.
Tant de gens tentent d'ignorer ce fait et de vivre leur vie comme si de rien n'était.
Mais si nous prenons un instant pour réfléchir lentement à ce fait, nous pouvons acquérir une nouvelle perspective sur la vie.
Je crois que ces valeurs, tout autant que les valeurs traditionnelles, rendent la vie encore plus belle.

--- p.377