Chapitre 1.
Rotation
Horloge quantique
__Répétez les mesures dans la même direction
__Répétez les mesures dans différentes directions
__mesures
__aléatoire
__Photons et polarisation
__conclusion


Chapitre 2.
algèbre linéaire
__Nombres complexes vs. nombres réels
__vecteur
Diagramme vectoriel
__longueur du vecteur
__multiplication des nombres réels (ou multiplication scalaire)
__Addition vectorielle
vecteur orthogonal
__soutien-gorge fois ket
__Entre parenthèses et longueur
__Entretoise et orthogonal
Base orthogonale
__Vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs de base
base de commande
__longueur du vecteur
__procession
Calcul matriciel
Matrice orthogonale et matrice unitaire
Boîte à outils d'algèbre linéaire


Chapitre 3.
Spin et qubits
__probabilité
__Mathématiques pour le spin quantique
__vecteur d'état équivalent
__base d'une direction de rotation spécifique
Faites pivoter l'appareil de __608
Modèle mathématique de la polarisation des photons
__base d'une direction de polarisation spécifique
Expérience de filtre polarisant
__qubit
Alice, Bob, Ève
Amplitude de probabilité et interférence
Alice, Bob, Ève et le protocole BB84


Chapitre 4.
enchevêtrement
__Si les qubits d'Alice et de Bob ne sont pas intriqués
__Si les qubits ne sont pas intriqués
__Si les qubits sont intriqués
Communication supralumineuse
Base standard pour le produit tensoriel
__Comment intriquer des qubits
Intrication de qubits à l'aide de portes __CNOT
Horloge quantique intriquée


Chapitre 5.
l'inégalité de Bell
Mesure de qubits intriqués dans différentes bases
Einstein et le réalisme local
Einstein et la variable cachée
Explication de l'intrication par la physique classique
L'inégalité de Bell
__La réponse de la mécanique quantique
__Réponse au modèle classique
__mesures
Protocole Eckert pour la distribution de clés quantiques


Chapitre 6.
Logique classique, portes logiques, circuits
__logique
__Algèbre booléenne
__Complétude de la fonction
__grille
__circuit
__NAND est une porte universelle
portes et calcul
__mémoire
Calcul réversible
Informatique de la boule de billard


Chapitre 7.
Portes quantiques et circuits quantiques
__qubit
Porte __CNOT
Porte quantique
__Portes quantiques qui opèrent sur un seul qubit
Porte d'Amardar
Existe-t-il des portes quantiques universelles ?
__Théorème de non-réplication
Informatique quantique contre informatique classique
Circuit de cloche
Codage à très haute densité
Téléportation quantique
__Correction d'erreur


Chapitre 8.
algorithmes quantiques
Classes de complexité P et NP
Les algorithmes quantiques sont-ils plus rapides que les algorithmes classiques ?
__Complexité de la requête
__Algorithme allemand
Produit de Kronecker de la matrice de Hadamard
__Algorithme de Deutsch-Jossa
L'algorithme de Simon
Classe __Complexité
__Algorithme quantique


Chapitre 9.
L'impact de l'informatique quantique
L'algorithme de Shor et la cryptographie
Algorithme de Grover et récupération de données
Chimie et simulation
__matériel
Suprématie quantique et univers parallèles
__Informatique

★ Article recommandé ★

« Ces derniers temps, les médias ont publié d’innombrables articles sur l’avènement de la révolution de l’informatique quantique. »
L'auteur Chris Bernhardt a écrit un livre remarquablement concis et accessible qui offrira une introduction fondamentale au domaine fascinant de l'informatique quantique à toute personne intéressée.
Les lecteurs n'ont besoin de connaître que les mathématiques de niveau lycée.
Vous recevrez ensuite un guide très convivial vous expliquant de nombreux aspects des ordinateurs quantiques.
- Noson S.
Yanofsky (Noson S.
Yanofsky) / Professeur d'informatique et de sciences de l'information au Brooklyn College, co-auteur de *Quantum Computing for Computer Scientists* et auteur de *The Outer Limits of Reason*

« Bernhard a écrit une introduction claire et précise à l’informatique quantique. »
Les débutants peuvent lire ce livre pour acquérir une solide compréhension de la téléportation quantique, de l'inégalité de Bell, de l'algorithme de Simon, et bien plus encore.
Si un débutant me demandait un bon livre sur l'informatique quantique, je lui recommanderais sans hésiter celui-ci.
Scott Aaronson, professeur titulaire de la chaire David J. Brewton en informatique et directeur du Centre d'information quantique de l'Université du Texas, auteur de *L'informatique quantique depuis Démocrite*

Les bits seront-ils remplacés par des qubits ? Les ordinateurs quantiques se profilent à l’horizon technologique.
Ce livre ouvre la voie aux responsables informatiques pour qu'ils aillent au-delà de la simple observation des effets quantiques et atteignent les fondements de l'informatique quantique.
- Alexander Keewatin Dewdney, professeur d'informatique, Université Western Ontario


★ Public cible de ce livre ★

L'objectif de ce livre est d'initier les lecteurs à l'informatique quantique s'ils possèdent des connaissances en mathématiques de niveau lycée.
Nous étudions en particulier les qubits, l'intrication, la téléportation quantique et les principaux algorithmes quantiques, dans le but de comprendre clairement chaque concept plutôt que de simplement le connaître vaguement.


★ Structure de ce livre ★

Chapitre 1.
Rotation
L'unité de base de l'informatique classique est le bit.
Un bit peut être représenté par tout ce qui peut avoir l'un de deux états.
L'exemple le plus courant est celui d'un interrupteur électrique qui peut être soit allumé, soit éteint.
L'unité de base de l'informatique quantique est le « qubit ».
Un qubit peut être représenté par le spin d'un électron ou par la polarisation d'un photon.
Mais les propriétés du spin et de la polarisation ne nous sont pas aussi familières que des interrupteurs qui peuvent être allumés ou éteints.
Nous commencerons par explorer les propriétés fondamentales du spin, en commençant par les expériences d'Otto Stern et de Walther Gerlach, qui ont étudié les propriétés magnétiques des atomes.
Nous allons explorer ce qui se passe lorsque nous mesurons le spin dans différentes directions, et apprendre que l'acte de mesure peut affecter l'état d'un qubit.
Nous expliquerons également que les mesures comportent une part d'aléatoire inhérente.
Nous concluons le chapitre 1 en montrant que des expériences similaires aux expériences sur le spin électronique peuvent être réalisées en utilisant des filtres polarisants et de la lumière.

Chapitre 2.
algèbre linéaire
L'informatique quantique repose sur une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire.
Heureusement, vous n'avez besoin de connaître que quelques-uns de ces concepts.
Ce livre initie les lecteurs à l'algèbre linéaire et montre comment l'utiliser à travers des exemples.
Après avoir présenté les vecteurs et les matrices, nous vous montrerons comment calculer la longueur d'un vecteur et comment déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux.
Dans un premier temps, nous ne considérerons que les opérations de base sur les vecteurs, mais nous montrerons également une méthode simple pour calculer simultanément plusieurs opérations vectorielles à l'aide de matrices.
Lorsque vous découvrirez pour la première fois le contenu du chapitre 2, il peut être difficile de ressentir à quel point l'étude de l'algèbre linéaire sera utile.
Mais l'algèbre linéaire est vraiment utile.
Parce qu'elle constitue le fondement de l'informatique quantique.
Le chapitre 3 et les suivants utilisent les notions mathématiques introduites au chapitre 2 ; vous devriez donc lire attentivement le chapitre 2.

Chapitre 3.
Spin et qubits
Le chapitre 3 montre comment le contenu des chapitres 1 et 2 est lié.
Le modèle mathématique du spin ou de la polarisation sera donné par l'algèbre linéaire.
Cela nous permet de définir un qubit et d'expliquer ce qui se passe lorsque nous mesurons un qubit.
Un exemple de mesure d'un qubit à partir de différentes directions est présenté.
Nous concluons ensuite le chapitre 3 par une introduction à la cryptographie quantique, le protocole BB84.

Chapitre 4.
enchevêtrement
Explique ce que signifie l'intrication de deux qubits.
L'intrication est difficile à expliquer avec des mots, mais elle peut être facilement exprimée mathématiquement.
Il introduit également un nouveau concept mathématique : le produit tensoriel.
Le produit tensoriel est la manière la plus simple de combiner des modèles mathématiques de qubits individuels pour fournir un modèle unique décrivant un ensemble de qubits.
L'intrication est un phénomène qui peut être exprimé simplement mathématiquement, mais que nous ne pouvons pas expérimenter dans notre vie quotidienne.
Lorsque vous mesurez l'un des qubits intriqués, les autres qubits sont affectés.
Il s'agit d'un phénomène que le scientifique Einstein a appelé « action démoniaque à distance ».
Examinons quelques exemples.
Le chapitre 4 conclut en démontrant qu'une communication supraluminique ne peut être réalisée grâce à l'intrication.

Chapitre 5.
l'inégalité de Bell
Nous explorons l'intérêt d'Einstein pour l'intrication et examinons si la théorie des variables cachées peut préserver le réalisme local.
L'inégalité de Bell est examinée mathématiquement, et cette équation peut être utilisée pour déterminer expérimentalement la validité des affirmations d'Einstein.
Plus tard, l'affirmation d'Einstein s'est avérée fausse.
Mais même Bell pensait qu'Einstein aurait raison.
Artur Ekert a découvert que les expériences vérifiant l'inégalité de Bell pouvaient être utilisées pour générer des clés de chiffrement et pour détecter les écoutes clandestines.
Nous concluons le chapitre 5 par une description de ce protocole de chiffrement.

Chapitre 6.
Logique classique, portes, circuits
Nous commencerons par expliquer les notions fondamentales de l'informatique : les bits, les portes logiques et la logique, puis nous aborderons brièvement l'informatique réversible et les idées d'Ed Fredkin.
De plus, nous prouvons que la porte de Fredkin et la porte de Toffoli sont des portes universelles.
Autrement dit, un ordinateur complet peut être construit en utilisant uniquement des portes Fredkin (ou des portes Toffoli).
Enfin, nous vous présentons l'ordinateur à boules de billard de Fredkin.
Bien que l'ordinateur à boules de billard ne soit pas directement lié au sujet de ce livre, il est inclus car il s'agit d'un concept très original.
Un ordinateur de billard est composé de boules qui heurtent les murs et entrent en collision les unes avec les autres.
Imaginez une image de particules interagissant.
C'est également l'un des concepts qui ont suscité l'intérêt de Richard Feynman pour les ordinateurs quantiques.
Feynman a rédigé un article précurseur sur l'ordinateur à boules de billard.

Chapitre 7.
Portes quantiques et circuits quantiques
Nous commençons par explorer l'informatique quantique à l'aide de circuits quantiques.
Tout d'abord, nous définissons les portes quantiques.
Et lorsque nous examinons le fonctionnement des portes quantiques sur les qubits, nous réalisons que nous utilisons en fait le concept de portes quantiques depuis un certain temps déjà.
C'est simplement une différence de point de vue.
L'idée est que la matrice orthogonale agit sur les qubits, et non sur le dispositif de mesure.
Elle démontre des résultats remarquables en matière de codage à ultra-haute densité, de téléportation quantique, de réplication et de correction d'erreurs.

Chapitre 8.
algorithmes quantiques
C'est probablement le chapitre le plus difficile.
Nous allons examiner plusieurs algorithmes quantiques et montrer à quel point ils peuvent être calculés plus rapidement que les algorithmes classiques.
Pour aborder la question de la vitesse des algorithmes, il est nécessaire d'introduire le concept de théorie de la complexité.
Nous définissons d'abord la complexité des requêtes, puis nous présentons trois algorithmes quantiques et montrons à quel point ils sont plus rapides que les algorithmes classiques en termes de complexité des requêtes.
Les algorithmes quantiques explorent la structure fondamentale du problème qu'ils tentent de résoudre.
Il ne s'agit pas simplement d'exploiter le parallélisme quantique, ce qui signifie que les entrées peuvent être transformées en une superposition de tous les états possibles.
En guise de dernier outil mathématique présenté dans ce livre, nous introduisons le produit de Kronecker des matrices.
Ce qui rend le chapitre 8 difficile, ce n'est pas l'introduction de nouveaux outils mathématiques, mais le fait que nous calculons d'une manière totalement nouvelle et que nous n'avons aucune expérience de la résolution de problèmes utilisant ces nouveaux concepts.

Chapitre 9.
L'impact de l'informatique quantique
Le chapitre 9, le dernier chapitre, explore l'impact que l'informatique quantique aura sur nos vies.
Nous allons tout d'abord décrire brièvement deux algorithmes importants conçus par Peter Shor et Lov Grover.
Après avoir présenté chaque algorithme, nous explorerons comment l'informatique quantique peut être utilisée pour simuler des processus quantiques.
La mécanique quantique constitue le fondement de la chimie.
La chimie computationnelle classique simule les équations de la mécanique quantique à l'aide d'ordinateurs classiques, mais les simulations ne sont qu'approximatives et ignorent souvent certains détails.
Si les approximations sont souvent suffisantes, il faut parfois tenir compte des détails, et c'est là que les ordinateurs quantiques peuvent apporter des solutions.
Le chapitre 9 présente également brièvement la construction d'un véritable ordinateur quantique.
Ce domaine se développe très rapidement.
Des machines sont déjà disponibles sur le marché.
De plus, certains sont hébergés dans le cloud afin que tout le monde puisse les utiliser.
Il est fort probable que nous entrions bientôt dans une ère de suprématie quantique.
Finalement, l'ouvrage se conclut sur la prise de conscience que l'informatique quantique n'est pas un nouveau type d'informatique, mais plutôt une découverte concernant la véritable nature de l'informatique.




★ Note de l'auteur ★

L'actualité concernant l'informatique quantique a été fréquemment relayée par les médias ces derniers temps.
Vous avez probablement entendu parler des informations selon lesquelles la Chine a téléporté des qubits de la Terre vers un satellite, que l'algorithme de Shor met en péril les systèmes de chiffrement actuels, que la distribution quantique de clés pourrait rétablir la sécurité des systèmes de chiffrement et que l'algorithme de Grover accélérera la récupération des données.
Mais que signifie concrètement cette nouvelle ? Comment tout cela fonctionne-t-il ? Ce livre vous expliquera tout.

Mais est-il possible d'expliquer l'informatique quantique sans utiliser les mathématiques ? Non.
Si vous voulez vraiment comprendre ce principe, vous ne pouvez pas l'expliquer correctement sans les mathématiques.
Les concepts de base proviennent de la mécanique quantique et sont souvent contre-intuitifs.
Expliquer les choses uniquement avec des mots n'est pas efficace.
Parce que c'est quelque chose qui ne peut être vécu dans la vie de tous les jours.
Expliquer les choses verbalement nous donne souvent l'impression de comprendre quelque chose que nous ne comprenons pas réellement.

Heureusement, cela ne nécessite pas beaucoup de mathématiques.
Mon rôle de mathématicien est de simplifier les mathématiques autant que possible, en me concentrant sur les concepts fondamentaux et en fournissant des exemples de base qui démontrent leur utilisation et leur signification.
Néanmoins, ce livre contiendra des concepts mathématiques que vous n'avez peut-être jamais rencontrés auparavant.
Et comme tous les concepts mathématiques, il est certain qu'il paraîtra étrange au premier abord.
Il est donc important de lire attentivement les exemples, en suivant les étapes de calcul une par une, plutôt que de simplement les survoler.

L'informatique quantique est une magnifique fusion de la mécanique quantique et de l'informatique, combinant des concepts brillants de la physique du XXe siècle avec une façon totalement nouvelle de penser l'informatique.
L'unité de base de l'informatique quantique est le qubit.
Nous allons apprendre ce qu'est un qubit et ce qui se passe lorsque nous mesurons un qubit.
Un bit classique est soit 0, soit 1.
Si vous mesurez un bit classique 0, vous obtenez 0, et si vous mesurez un bit 1, vous obtenez 1.
Dans les deux cas, la valeur du bit ne change pas.
Mais pour les qubits, la situation est complètement différente.
Un qubit peut se trouver dans l'un des innombrables états (une superposition de 0 et de 1).
Mais lorsqu'on mesure un qubit, on obtient une valeur de 0 ou de 1.
L'acte de mesure modifie le qubit.
Tous ces phénomènes peuvent être décrits en détail à l'aide d'un modèle mathématique simple.

Les qubits peuvent également être intriqués.
La mesure d'un des qubits affecte l'état des autres qubits.
Ce phénomène est également quelque chose que nous ne pouvons pas expérimenter dans notre vie quotidienne.
Mais elle peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique.
Ces trois phénomènes – la superposition, la mesure et l’intrication – sont des concepts fondamentaux de la mécanique quantique.
Une fois que vous aurez compris la signification de ces concepts, vous pourrez saisir comment ils peuvent être utilisés en informatique quantique.
C'est là que brille l'ingéniosité humaine.
Les mathématiciens affirment que les démonstrations sont belles et contiennent souvent des intuitions inattendues.
J'ai éprouvé le même sentiment en expliquant bon nombre des sujets abordés dans ce livre.
Le théorème de Bell, la téléportation quantique et le codage ultra-dense sont autant de joyaux.
Les circuits de correction d'erreurs et l'algorithme de Grover sont vraiment extraordinaires.

La lecture de ce livre vous permettra non seulement de comprendre les concepts fondamentaux qui sous-tendent l'informatique quantique, mais aussi de découvrir plusieurs structures uniques et magnifiques.

Vous verrez des structures ingénieuses et magnifiques.
Vous finirez par comprendre que l'informatique quantique et l'informatique classique ne sont pas des principes distincts, et que l'informatique quantique est une forme d'informatique plus fondamentale.
Tout ce qui peut être calculé de manière classique peut également être calculé sur un ordinateur quantique.
Les qubits, et non les bits, constituent l'unité de base du calcul.
L'informatique signifie essentiellement l'informatique quantique.

Enfin, je tiens à souligner que ce livre traite de la théorie du calcul quantique.
Autrement dit, ce livre traite principalement de logiciels, et non de matériel.
Nous évoquons brièvement le matériel et expliquons comment intriquer physiquement les qubits, mais il ne s'agit là que d'un sujet secondaire.
Ce livre explique comment utiliser un ordinateur quantique, et non comment en construire un.


★ Note du traducteur ★

Il s'agit d'un ouvrage théorique qui explique les principes de base des ordinateurs quantiques aux lecteurs ayant des connaissances mathématiques de base.
La mécanique quantique, base des ordinateurs quantiques, inclut des concepts tels que l'intrication et la superposition.
C'est un concept difficile à accepter d'un point de vue intuitivement, et difficile à comprendre avec précision lorsqu'il est exprimé par des mots.
Les expressions mathématiques sont donc essentielles.
Ce livre s'attache à présenter les modèles mathématiques de ces concepts de la manière la plus simplifiée possible.
À cette fin, l'auteur déploie beaucoup d'efforts, notamment en excluant les représentations des nombres complexes et en expliquant les concepts de base de l'algèbre linéaire, mais des connaissances mathématiques de niveau lycée restent essentielles.

Le chapitre 1 présente le qubit, l'unité de base de l'informatique quantique.
Puisque les qubits sont souvent représentés par le spin de l'électron, nous expliquons leurs propriétés à travers des exemples expérimentaux qui montrent ce qui se passe lorsque le spin est mesuré dans différentes directions.
Les deux chapitres suivants abordent les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire nécessaires à l'étude de ce livre.
Il introduit notamment des méthodes de calcul vectoriel et matriciel.
Au chapitre 3, nous utilisons l'algèbre linéaire apprise au chapitre 2 pour présenter un modèle mathématique du spin de l'électron appris au chapitre 1, et définir les qubits à l'aide de ce modèle.

Les chapitres 4 et 5 traitent de l'enchevêtrement.
Tout d’abord, le chapitre 4 introduit le concept de produit tensoriel et explique comment décrire un ensemble de qubits comme un modèle unique.
Le chapitre 5 traite de l'inégalité de Bell.
C’est une façon de vérifier expérimentalement la validité de l’argument d’Einstein, auquel il s’opposait en qualifiant l’intrication d’« action à distance semblable à celle d’un gobelin ».
Bien qu'il soit finalement conclu qu'Einstein avait tort, même Bell, qui a conçu l'inégalité, a défendu le point de vue et l'approche d'Einstein, et l'auteur est d'accord avec cela.

C’est dans les chapitres 6 et 7 que nous commençons à aborder la véritable terminologie informatique.
Le chapitre 6 décrit les bits, les portes et la logique des ordinateurs classiques et introduit les concepts de calcul réversible et de portes universelles.
Le chapitre 7 décrit les versions informatiques quantiques de ces concepts, montrant comment les qubits changent lorsqu'ils traversent des portes quantiques.

Le chapitre 8 présente plusieurs algorithmes quantiques et explique comment ils peuvent être accélérés par rapport aux algorithmes classiques.
Enfin, le chapitre 9 présente brièvement l'algorithme de recherche de Grover et l'algorithme de factorisation de Shor, et montre que les ordinateurs quantiques sont déjà utilisés pour simuler avec précision des processus de mécanique quantique.

Ce livre n'est pas destiné aux programmeurs.
Ce livre convient aux lecteurs qui souhaitent comprendre les principes fondamentaux des ordinateurs quantiques sur une base mathématique et devenir des lecteurs débutants en informatique quantique.
Je pense qu'il serait judicieux de considérer ce livre comme une lecture préalable aux ouvrages de niveau supérieur.