Préface de l'auteur
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Préface de l'éditeur

introduction

Chapitre 1 : Les origines de l'analyse de Fourier
1 vibration de corde
1.1 Dérivation de l'équation des ondes
1.2 Solution de l'équation des ondes
1.3 Exemple : Corde de tungin
Équation à 2 colonnes
2.1 Dérivation de l'équation de la chaleur
2.2 Équation de la chaleur en régime permanent dans un disque
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 2 Propriétés fondamentales des séries de Fourier
1. Clarification de l'exemple et du problème
1.1 Définitions clés et quelques exemples
2. Unicité des séries de Fourier
3 Convolution
4 bons noyaux
5 Possibilités de sommation de Chesaro et de sommation abélienne : application aux séries de Fourier
5.1 Moyenne et somme par Chesaro
5.2 Théorème de Feser
5.3 Moyenne abélienne et somme abélienne
5.4 Problème de Dirichlet sur un noyau de Poisson et un disque unité
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 3 Convergence des séries de Fourier
1. Convergence quadratique moyenne des séries de Fourier
1.1 Espace vectoriel et produit scalaire
1.2 Preuve de la convergence en moyenne quadratique
Retour à la convergence point par point
2.1 Résultats locaux
2.2 Fonctions continues à séries de Fourier divergentes
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 4 Applications des séries de Fourier
1. Inégalité de Rankine
2 Théorème de distribution uniforme de Weyl
3. Une fonction continue mais non dérivable en tout point
Équation de la chaleur sur un cercle
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 5 Transformée de Fourier dans R
1 Théorie de base de la transformée de Fourier
1.1 Intégrale de fonctions définies sur les nombres réels
1.2 Définition de la transformée de Fourier
1.3 Espace Schwarz
Transformée de Fourier à 1,4 s
1.5 Transformée de Fourier inverse
1.6 Formule Francherel
1.7 Extension à une fonction convenablement décroissante
1.8 Théorème d'approximation de Weierstrass
2 Applications aux équations aux dérivées partielles
2.1 Équation de la chaleur dépendant du temps en nombres réels
2.2 Équation de la chaleur en régime permanent dans le demi-plan supérieur
3 Formule de somme de Poisson
3.1 Fonctions thêta et zêta
3.2 Thermonucléaire
3.3 Noyau de Poisson
4. Principe d'incertitude d'Heisenberg
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 6 Transformée de Fourier dans R^d
1. Connaissances de base
1.1 Symétrie
1.2 Intégration dans R^d
2 Théorie de base de la transformée de Fourier
Équation d'onde dans 3 R^d×R
3.1 Solution du point de vue de la transformée de Fourier
3.2 Équation d'onde dans R^3×R
3.3 Équation d'onde dans R^2×R : méthode de descente
4. Symétrie radiale et fonctions de Bessel
5 Transformation du radon et quelques applications
5.1 Transformation aux rayons X dans R^2
5.2 Transformée de Radon dans R^3
5.3 Note sur les ondes planes
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 7 Analyse de Fourier finie
Analyse de Fourier dans 1 Z(N)
1.1 Groupe Z(N)
1.2 Théorème de la transformée de Fourier inverse et identité de Francherel dans Z(N)
1.3 Transformée de Fourier rapide
2 Analyse de Fourier dans les groupes abéliens finis
2.1 Groupe abélien
2.2 Indicateurs
2.3 Relation orthogonale
2.4 Indicateurs en tant qu'ensembles complets
2.5 Formule de la transformée de Fourier inverse et formule de Francherel
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 8 Théorème de Dirichlet
1 Théorie des nombres de base
1.1 Théorèmes fondamentaux de l'arithmétique
1.2 L'infinité des nombres premiers
2. Théorème de Dirichlet
2.1 Analyse de Fourier, indicateurs de Dirichlet et réduction du théorème
2.2 Fonction L de Dirichlet
Démonstration du troisième théorème
3.1 Fonction logarithmique
3.2 Fonction L
3.3 Fonctions L et indicateurs de Dirichlet non triviaux
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Intégration de l'annexe
1. Intégrale de Riemann
1.1 Propriétés de base
1.2 Ensembles de mesure nulle et discontinuités des fonctions intégrables
2 Intégrales doubles
2.1 Intégrale de Riemann dans R^d
2.2 Intégration itérée
2.3 Méthode d'intégration par substitution
2.4 Coordonnées sphériques
Intégrale idéale dans 3 R^d
3.1 Intégrale d'une fonction convenablement décroissante
3.2 Intégration itérée
3.3 Coordonnées sphériques

Notes chapitre par chapitre
Références
Liste des symboles
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