Préface – Les mathématiques d’un père à sa fille

Chapitre 1 : Porter des jugements en présence d'informations incertaines

O.
Procès de J. Simpson, plaidoirie du professeur de la défense │ Commençons par lancer les dés │ Comment ne pas perdre aux jeux de hasard │ Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes │ Le dépistage du cancer du sein est-il utile ? │ Apprendre mathématiquement « à partir de l’expérience » │ La probabilité qu’un accident majeur dans une centrale nucléaire se reproduise │ O.
J. Simpson a-t-il tué sa femme ?

Chapitre 2 : Retour aux principes de base

Les clés de l'innovation technologique │ Addition, multiplication et les trois règles │ Soustraction et découverte du zéro │ Pourquoi (-1) × (-1) = 1 ? │ Tout nombre est divisible s'il est exprimé en fraction │ Fraction impropre → Nombre fractionnaire → Fraction continue │ Création d'un calendrier avec des fractions continues │ Les « nombres irrationnels » que je préférais ignorer │ La magnifique histoire des équations du second degré

Chapitre 3 : Les grandes capitales n'ont pas peur

Le premier essai nucléaire mondial et l'estimation de Fermi │ De combien le dioxyde de carbone atmosphérique a-t-il augmenté ? │ N'ayez pas peur des grands nombres │ L'arme secrète qui a doublé l'espérance de vie d'un astronome │ Comment optimiser l'épargne à intérêts composés ? │ Combien d'années faut-il pour doubler un dépôt bancaire ? │ Les lois de la nature se comprennent grâce à l'algèbre.

Chapitre 4 : Les merveilles du Mineur

La fleur des mathématiques pures │ Découverte des nombres premiers avec le crible d'Ératosthène │ Il existe une infinité de nombres premiers │ L'apparition des nombres premiers suit une régularité │ Détermination des nombres premiers avec le triangle de Pascal │ Réussir le test de Fermat signifie être un nombre premier │ Qu'est-ce que la cryptographie à clé publique, qui protège les secrets de communication ? │ La cryptographie à clé publique est la clé du théorème d'Euler │ Échange de numéros de carte de crédit

Chapitre 5 : Mondes infinis et imperfection

Bienvenue à l'Hôtel California ! │ « 1 = 0,99999… » est inacceptable ? │ Achille ne peut-il pas rattraper la tortue ? │ « Je mens » │ « Preuve d'alibi » est une « réduction à l'absurde » │ Ceci est le théorème d'incomplétude de Gödel !

Chapitre 6 : Mesurer la forme de l'univers

Comment les Grecs anciens mesuraient-ils la taille de la Terre ? │ Les bases fondamentales, les propriétés des triangles │ L’idée révolutionnaire des coordonnées cartésiennes │ Même en six, neuf ou dix dimensions │ Un monde où les axiomes euclidiens ne sont plus valables │ Un monde où seul l’axiome des parallèles est invalidé │ Le « théorème merveilleux » qui nous permet de connaître la forme sans l’observer de l’extérieur │ Dessinez un triangle dont un côté mesure 10 milliards d’années-lumière.

Le chapitre 7, « Calcul différentiel et intégral », commence par l’intégration.

Lettre d'Archimède │ Pourquoi « intégrer d'abord » ? │ Comment calculer l'aire initiale ? │ Toute forme convient, « quadrature d'Archimède » │ Que calcule-t-on lors d'une « intégration » ? │ Intégrons différentes fonctions │ Une flèche en vol est-elle immobile ? │ La différentiation est l'opération inverse de l'intégration │ Différentiation et intégration des fonctions exponentielles

Chapitre 8 : Le « nombre imaginaire » qui existe réellement

Nombres imaginaires, amis imaginaires │ Des nombres qui deviennent négatifs au carré, toujours présents │ Des nombres réels unidimensionnels aux nombres complexes bidimensionnels │ La multiplication des nombres complexes est « croissante par arrondi » │ Le « théorème de l’addition » qui mène à la multiplication │ Problèmes géométriques résolus par des équations ! │ La formule d’Euler qui relie les fonctions trigonométriques et exponentielles

Chapitre 9 : Mesurer la difficulté et la beauté

Galois, 20 ans de vie et des réalisations immortelles │ Qu'est-ce que la symétrie des figures ? │ La découverte des groupes │ Le secret de la formule de résolution des équations du second degré │ Pourquoi peut-on résoudre les équations du troisième degré ? │ Que signifie « résoudre une équation » ? │ L'équation quintique et l'icosaèdre régulier │ Une lettre de Galois │ La difficulté des équations et la beauté des formes │ Acquérir une autre âme

Avis

« Les mathématiques sont omniprésentes dans notre vie quotidienne. »
Comment voir le monde à travers les mathématiques

Les mathématiques, qui n'ont cessé de se développer depuis la Grèce antique, sont omniprésentes dans notre vie quotidienne.
Par conséquent, comprendre les mathématiques revient à acquérir une nouvelle langue pour lire le monde.
Dans le chapitre 1, « Juger avec des informations incertaines », Hiroshi Oguri calcule de combien les chances de gagner aux jeux de hasard augmentent lorsque les probabilités sont légèrement en votre faveur.
Par exemple, si j'ai un avantage de 3 % sur mon adversaire et que je continue à miser suffisamment d'argent, mes chances de doubler ma mise passent à 99,75 %.
Autrement dit, aux jeux de hasard, si vous disposez d'un capital de départ suffisant et d'un avantage, même minime, la victoire est quasi assurée. Ce principe s'applique également à la durée de vie.
Par exemple, améliorer nos habitudes quotidiennes, comme avoir une alimentation équilibrée, faire de l'exercice de manière appropriée et mener une vie régulière, peut augmenter considérablement nos chances de vivre longtemps en nous donnant un « léger avantage » dans nos chances de longévité.
La puissance des mathématiques réside dans leur capacité à exprimer clairement par des chiffres à quel point cette probabilité augmente !

Après tout, les mathématiques sont une discipline née de la nécessité.
Depuis l'Antiquité, partout où la civilisation s'est développée, les mathématiques ont toujours été présentes et ont servi de fondement à cette civilisation.
Les mathématiques, qui peuvent sembler lointaines et inconnues, sont en réalité directement liées à nos vies.
Par exemple, les « fractions continues », qui sont créées en reconvertissant le dénominateur en une fraction puis en reliant les fractions unitaires, ont été utilisées pour fabriquer des calendriers.
Si l'on suppose qu'une année compte environ 365,24219 jours et que l'on effectue une approximation fractionnaire, 365,24219 est égal à 365+0,024219≒365+1/4, on peut donc imaginer un calendrier où le 29 février apparaît une fois tous les quatre ans.
Mais dans ce cas précis, il y a une erreur de 0,00781 jour.
Par conséquent, le calendrier grégorien que nous utilisons aujourd'hui est un calendrier créé selon la règle selon laquelle « les années divisibles par 4 sont bissextiles, mais les années divisibles par 100 mais pas par 400 ne sont pas bissextiles ».


Les nombres premiers, qui semblent être le domaine exclusif des mathématiciens, sont en réalité profondément ancrés dans nos vies.
Les nombres premiers, également appelés « atomes des nombres » car ils recèlent les secrets des nombres, sont un concept qui a fasciné les mathématiciens de la Grèce antique à nos jours.
Les mathématiciens étudient les régularités d'apparition des nombres premiers et les méthodes pour les déterminer, mais il reste encore de nombreux problèmes non résolus liés aux nombres premiers.
Néanmoins, les minorités sont utilisées de manière urgente dans nos vies.
Le système de cryptage utilisé pour les achats ou les paiements sur Internet a été développé en appliquant les propriétés des nombres premiers.
Jusqu'à présent, quelle que soit la complexité de la technologie de chiffrement, elle pouvait être rapidement déchiffrée une fois ses règles révélées.
Cependant, un mot de passe utilisant des nombres premiers ne peut pas être déchiffré même si les règles de chiffrement sont connues.
Par exemple, on ne peut pas ouvrir une serrure sans clé, même si on sait comment l'ouvrir.
De même, un système cryptographique utilisant des nombres premiers est une technologie qui fournit à chaque utilisateur une « clé » unique en tirant parti de la propriété unique des nombres premiers selon laquelle les grands nombres sont difficiles à factoriser.
De cette manière, Hiroshi Oguri nous montre comment les mathématiques, qui semblent si éloignées de notre vie quotidienne, sont en réalité proches de celle-ci et constituent un outil puissant pour appréhender le monde, à travers des exemples illustrant comment les mathématiques ont profondément transformé nos vies.


Pourquoi apprendre l'intégration avant la différenciation ?
Les mathématiques deviennent plus attrayantes quand on sait pourquoi on les apprend.

La reine de toutes les études, les mathématiques.
Les mathématiques, qui existent depuis que l'homme a commencé à penser, renferment l'essence de l'intelligence humaine sur des milliers d'années.
De la distribution des récoltes au calcul des intérêts, en passant par la détermination de la taille de la Terre, les mathématiques sont étroitement liées à notre vie quotidienne.
Mais aujourd'hui, les mathématiques sont devenues la matière qui nous paraît la plus éloignée et la moins familière.
Les manuels de mathématiques regorgent de symboles et de formes dont la signification est obscure, et ce que nous faisons en cours de maths consiste simplement à résoudre mécaniquement des problèmes selon des formules.
Mais les mathématiques sont un outil et un langage dont nous avons absolument besoin pour survivre au XXIe siècle.
Hiroshi Oguri, physicien mathématicien de renommée mondiale et professeur au California Institute of Technology, a écrit ce livre dans l'espoir que sa fille puisse elle aussi éprouver la joie des mathématiques.
Il reprend les concepts des manuels de mathématiques, en y ajoutant parfois des anecdotes intéressantes sur l'histoire des mathématiciens et parfois des histoires tirées de la vie quotidienne pour rendre les mathématiques plus amusantes.


Pourquoi devrions-nous apprendre l'intégration avant la dérivation ? Les manuels de mathématiques du secondaire expliquent généralement d'abord la dérivation, puis introduisent l'intégration comme son opération inverse.
Cet ordre vise à enseigner les mathématiques complètes de manière logique, mais il est inverse en termes de développement historique.
Archimède a inventé la quadrature pour les calculs intégraux au IIIe siècle avant J.-C., mais Newton et Leibniz ont mis au point le calcul différentiel au XVIIe siècle.
En effet, l'intégration était un concept nécessaire au calcul de grandeurs visibles telles que la surface ou le volume.
En revanche, pour comprendre la différenciation, il faut d'abord comprendre le concept de limites.
Ne serait-il pas plus simple d'apprendre le calcul intégral, intuitif et facile à comprendre, avant de se plonger dans le calcul différentiel, plus complexe ? Cet ouvrage retrace l'histoire des mathématiques, expliquant les concepts intuitifs étape par étape, captivant le lecteur tout en l'aidant à approfondir sa compréhension des notions mathématiques.


L’arme la plus puissante que j’ai donnée à ma fille lorsqu’elle est entrée dans le monde : les mathématiques.

Nous nous souvenons tous de la confusion que nous avons ressentie lorsque nous avons appris les mathématiques pour la première fois à l'école.
Contrairement à d'autres matières où tout est expliqué par des mots, en mathématiques, tout est condensé en symboles.
En apprenant les nombres négatifs, les fractions et les décimales au-delà des nombres que vous pouvez compter sur vos doigts, et en effectuant uniquement des additions et des soustractions de manière mécanique, certains d'entre vous se sont peut-être demandé à quel point cela serait utile dans la vie réelle.
Cette gêne s'accentue à mesure que le niveau scolaire augmente.
Les symboles et figures apparemment dénués de sens, tels que les triangles et les cercles, les exposants et les logarithmes, la différentiation et l'intégration, continuent de se multiplier.
Je résous les problèmes de manière mécanique, en croyant aux paroles du professeur que cela me sera utile un jour.

Mais comprendre pourquoi les concepts mathématiques ont été créés ne rendrait-il pas les mathématiques plus accessibles ? Par exemple, beaucoup de gens mémorisent que multiplier un nombre négatif par un nombre négatif donne un nombre positif, mais ils ne comprennent pas pourquoi.
Ceci s'explique par le fait que les nombres négatifs sont un concept difficile à appréhender de prime abord.
Même des mathématiciens renommés avaient du mal à accepter les nombres négatifs.
Même au XVIIe siècle, la communauté mathématique hésitait à accepter les nombres négatifs. Le mathématicien Blaise Pascal affirmait que « si vous soustrayez 4 de 0, vous obtenez 0 », et René Descartes rejetait également les nombres négatifs dans la résolution d'équations, déclarant qu'« il n'y a pas de nombre plus petit que rien ».
Les nombres irrationnels étaient encore plus difficiles à accepter.
On raconte que Pythagore a tué Hippase, qui avait découvert les nombres irrationnels dans le rapport des côtés et des diagonales d'un carré, en le noyant dans la mer.

Bien que cela soit difficile à comprendre, les nombres négatifs et les nombres irrationnels sont clairement des nombres qui existent dans la nature et constituent des concepts essentiels pour expliquer les phénomènes naturels.
L'humanité a su utiliser ces chiffres pour créer des méthodes de calcul plus puissantes.
En partant des nombres naturels pour les calculs simples, nous avons inventé le zéro et les nombres négatifs pour faciliter la soustraction, pensé aux fractions pour faciliter la division et découvert les nombres irrationnels pour construire des formes.
À mesure que le monde des nombres s'est développé, notre compréhension des phénomènes naturels s'est également approfondie.
La découverte de la formule de résolution des équations du second degré nous a permis de prédire où un boulet de canon allait atterrir, et l'introduction des fonctions logarithmiques nous a permis de calculer la période orbitale de la Terre, ce qui a conduit à la loi de la gravitation de Newton.


Hiroshi Oguri affirme qu'expliquer les phénomènes naturels par les mathématiques revient à trouver un langage qui « puisse dire des choses qui ne pouvaient pas être dites et résoudre des problèmes qui ne pouvaient pas être résolus ».
Les mathématiques sont un langage créé pour exprimer les choses avec précision.
Les mathématiques sont l'outil le plus puissant qu'un père ait préparé pour sa fille au moment où elle s'apprête à affronter le monde.
Ce livre, porteur d'un message touchant adressé à sa fille, souligne l'importance des mathématiques comme outil pour mener une vie pleine de sens au XXIe siècle.