Ce manuel est un « nouveau manuel de mathématiques » écrit par l'auteur à partir d'une synthèse de ses recherches et de sa formation antérieures, offrant une nouvelle compréhension des mathématiques à partir des notions fondamentales.
Contrairement aux ouvrages de mathématiques ordinaires, celui-ci est beaucoup plus fluide dans son contenu, et si vous suivez le raisonnement de l'auteur selon lequel les mathématiques sont un flux et non une astuce, vous découvrirez naturellement un flux clair appelé mathématiques.

*L'algorithme d'Euclide

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b, comme déjà mentionné, vous pouvez factoriser a et b.
Mais comme je l'ai déjà dit, la factorisation n'est pas si simple lorsqu'on travaille uniquement avec du papier et un crayon à son bureau.
Une méthode plus pratique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b est l'« algorithme d'Euclide ».
Voici comment ça se passe :

Or, a≥b, et le quotient de a divisé par b est q, et le reste est r.
Autrement dit, si a=bq+r, 0≤r0, alors r=a-bq dans l'équation ci-dessus, donc si e est un diviseur commun quelconque de a et b, alors a-bq du côté droit est divisible par e, et par conséquent r est divisible par e.
Par conséquent, e est un diviseur commun de b et r.
Par ailleurs, si e' est un diviseur commun de b et r, alors dans l'équation a=bq+r, e' divise a, et par conséquent e' est un diviseur commun de a et b.
De cela, nous pouvons voir que le diviseur commun de a et b est le diviseur commun de b et r, et inversement, le diviseur commun de b et r est le diviseur commun de a et b.
Par conséquent, l'ensemble de tous les diviseurs communs de a et b est identique à l'ensemble de tous les diviseurs communs de b et r.
De cela, nous pouvons voir que (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r).

Ensuite, soit r1 le reste de la division de b par r, et pour la même raison que celle expliquée ci-dessus, si r1=0, alors r devient le plus grand commun diviseur de b et r, et si r1>0, alors (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r) = (plus grand commun diviseur de r, r1).
Si nous poursuivons cette méthode jusqu'à ce que le nombre soit divisible, nous pourrons assurément trouver le plus grand commun diviseur de a et b en un nombre fini de divisions.

La méthode décrite ci-dessus est l'algorithme d'Euclide.
Il s'agit d'une méthode célèbre, connue depuis l'Antiquité.
En fait, cela est déjà clairement écrit dans le livre d'Euclide « Éléments » présenté précédemment…

--- p.38-39

*L'algorithme d'Euclide

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b, comme déjà mentionné, vous pouvez factoriser a et b.
Mais comme je l'ai déjà dit, la factorisation n'est pas si simple lorsqu'on travaille uniquement avec du papier et un crayon à son bureau.
Une méthode plus pratique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b est l'« algorithme d'Euclide ».
Voici comment ça se passe :

Or, a≥b, et le quotient de a divisé par b est q, et le reste est r.
Autrement dit, si a=bq+r, 0≤r0, alors r=a-bq dans l'équation ci-dessus, donc si e est un diviseur commun quelconque de a et b, alors a-bq du côté droit est divisible par e, et par conséquent r est divisible par e.
Par conséquent, e est un diviseur commun de b et r.
Par ailleurs, si e' est un diviseur commun de b et r, alors dans l'équation a=bq+r, e' divise a, et par conséquent e' est un diviseur commun de a et b.
De cela, nous pouvons voir que le diviseur commun de a et b est le diviseur commun de b et r, et inversement, le diviseur commun de b et r est le diviseur commun de a et b.
Par conséquent, l'ensemble de tous les diviseurs communs de a et b est identique à l'ensemble de tous les diviseurs communs de b et r.
De cela, nous pouvons voir que (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r).

Ensuite, soit r1 le reste de la division de b par r, et pour la même raison que celle expliquée ci-dessus, si r1=0, alors r devient le plus grand commun diviseur de b et r, et si r1>0, alors (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r) = (plus grand commun diviseur de r, r1).
Si nous poursuivons cette méthode jusqu'à ce que le nombre soit divisible, nous pourrons assurément trouver le plus grand commun diviseur de a et b en un nombre fini de divisions.

La méthode décrite ci-dessus est l'algorithme d'Euclide.
Il s'agit d'une méthode célèbre, connue depuis l'Antiquité.
En fait, cela est déjà clairement écrit dans le livre d'Euclide « Éléments » présenté précédemment…
*L'algorithme d'Euclide

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b, comme déjà mentionné, vous pouvez factoriser a et b.
Mais comme je l'ai déjà dit, la factorisation n'est pas si simple lorsqu'on travaille uniquement avec du papier et un crayon à son bureau.
Une méthode plus pratique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres positifs a et b est l'« algorithme d'Euclide ».
Voici comment ça se passe :

Or, a≥b, et le quotient de a divisé par b est q, et le reste est r.
Autrement dit, si a=bq+r, 0≤r0, alors r=a-bq dans l'équation ci-dessus, donc si e est un diviseur commun quelconque de a et b, alors a-bq du côté droit est divisible par e, et par conséquent r est divisible par e.
Par conséquent, e est un diviseur commun de b et r.
Par ailleurs, si e' est un diviseur commun de b et r, alors dans l'équation a=bq+r, e' divise a, et par conséquent e' est un diviseur commun de a et b.
De cela, nous pouvons voir que le diviseur commun de a et b est le diviseur commun de b et r, et inversement, le diviseur commun de b et r est le diviseur commun de a et b.
Par conséquent, l'ensemble de tous les diviseurs communs de a et b est identique à l'ensemble de tous les diviseurs communs de b et r.
De cela, nous pouvons voir que (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r).

Ensuite, soit r1 le reste de la division de b par r, et pour la même raison que celle expliquée ci-dessus, si r1=0, alors r devient le plus grand commun diviseur de b et r, et si r1>0, alors (plus grand commun diviseur de a, b) = (plus grand commun diviseur de b, r) = (plus grand commun diviseur de r, r1).
Si nous poursuivons cette méthode jusqu'à ce que le nombre soit divisible, nous pourrons assurément trouver le plus grand commun diviseur de a et b en un nombre fini de divisions.

La méthode décrite ci-dessus est l'algorithme d'Euclide.
Il s'agit d'une méthode célèbre, connue depuis l'Antiquité.
En fait, cela est déjà clairement écrit dans le livre d'Euclide « Éléments » présenté précédemment…

--- p.38-39