préface

Partie 1 : L'hypothèse de Riemann
1.
Réflexions sur les nombres dans l'Antiquité, au Moyen Âge et à l'époque moderne
2.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
3.
Nombres premiers « nommés »
4.
tamis
5.
Questions sur les nombres premiers que tout le monde peut poser
6.
Autres questions sur les nombres premiers
7.
Combien existe-t-il de nombres premiers ?
8.
Les minorités vues de loin
9.
Mathématiques pures et appliquées
10.
Première estimation probabiliste
11.
Qu’est-ce qu’une « bonne approximation » ?
12.
Erreur de racine carrée et marche aléatoire
13.
Qu’est-ce que l’hypothèse de Riemann ? (Première formulation)
14.
Le mystère se déplace vers le terme d'erreur.
15.
Lissage Cesaro
16.
lLi(X)-pi(X)l vue
17.
théorème des nombres premiers
18.
Informations contenues en quelques étapes
19.
Quelques étapes à réparer
20.
Quel rapport diable y a-t-il entre les fichiers musicaux informatiques, la compression de données et les nombres premiers ?
21.
Le mot « Spectre »
22.
Somme des fonctions spectrales et trigonométriques
23.
Étapes du spectre et des minorités
24.
Aux lecteurs de la première partie

Partie 2 : Superfonctions (Distribution)
25.
Comment le calcul différentiel peut-il déterminer la pente d'un graphique qui n'a pas de pente ?
26.
Superfonctions : des fonctions approchées précises même à l’infini
27.
Transformée de Fourier : deuxième visite
28.
Quelle est la transformée de Fourier de la fonction delta ?
29.
séries trigonométriques
30.
Un bref aperçu de la partie 3

Partie 3 : Spectre de Riemann des nombres premiers
31.
Sans perte d'informations
32.
Des nombres premiers au spectre de Riemann
33.
Combien y a-t-il de theta_i ?
34.
Questions supplémentaires concernant le spectre de Riemann
35.
Du spectre de Riemann aux nombres premiers

Partie 4 : Retour à Riemann
36.
Comment construire pi(X) à partir d'un spectre ? (Méthode de Riemann)
37.
Comme l'avait prédit Riemann, la fonction zêta relie quelques étapes au spectre de Riemann.
38.
Fonctions associées à la fonction zêta

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▼Hypothèse de Riemann
On a beau examiner la liste des nombres premiers, il est impossible de prédire quand apparaîtra le prochain nombre premier.
L'apparition des nombres premiers est déroutante et aléatoire, et ne donne aucune indication sur la façon de trouver le nombre premier suivant.
Pour reprendre les mots de Don Jaier, ancien directeur de l'Institut Max Planck de mathématiques, les nombres premiers sont « les objets les plus indisciplinés et les plus irritants étudiés par les mathématiciens, poussant comme de la mauvaise herbe parmi les nombres naturels et ne semblant obéir à aucune autre loi que celles du hasard ».
La liste des nombres premiers est le cœur même des mathématiques, mais elle est erratique, comme si elle était ivre de caféine.
Cependant, la conviction que le monde des quelques-uns ne sera pas gouverné par le chaos domine aujourd'hui la communauté mathématique.
La personne qui a fourni la base décisive de cette croyance était le mathématicien de Göttingen, Bernhard Riemann.
En 1859, Riemann développa l'idée d'Euler (la fonction zêta) d'une manière radicalement nouvelle et définit ce que l'on appelle la fonction zêta de Riemann.
L'un des nombreux résultats obtenus grâce à cette fonction zêta était une « formule exacte » permettant de trouver le nombre de nombres premiers dans une plage X.


▼L'importance de l'hypothèse de Riemann
Cette conjecture, connue sous le nom d'hypothèse de Riemann, a donné lieu à plus de 500 autres conclusions qui partent du principe qu'elle est vraie, et elle est aujourd'hui largement reconnue comme l'un des problèmes non résolus les plus difficiles et les plus importants des mathématiques.
L'hypothèse de Riemann est difficile à prouver, mais les répercussions de sa démonstration devraient être énormes.
Cette démonstration devrait engendrer une révolution dans les mathématiques appliquées, notamment en théorie des nombres.
La cryptographie informatique moderne et les cartes de crédit, nées des nombres premiers, trouvent également leurs racines dans l'hypothèse de Riemann.
L'étude de l'hypothèse de Riemann, qui avait frustré d'innombrables mathématiciens pendant 160 ans et soulevé des questions fondamentales quant à sa résolution, a été révélée de manière surprenante dans la seconde moitié du XXe siècle par Hugh Montgomery et Freeman Dyson comme étant liée à des domaines centraux de la physique quantique, et maintenant même les physiciens commencent à être attirés par ce domaine.
La démonstration de l'hypothèse de Riemann connaît un nouvel essor grâce au développement des mathématiques computationnelles et de la recherche interdisciplinaire en mathématiques et en physique, et Alain Cohn, l'un des plus grands mathématiciens de son temps, s'est penché sur l'hypothèse de Riemann en proposant une nouvelle solution utilisant la géométrie non commutative.
De nombreux mathématiciens parient sur la validité de l'hypothèse de Riemann.
En supposant que la minorité se comporte effectivement comme Riemann l'avait prédit, de nombreuses autres conclusions ont émergé.
Parce que le sort de nombreuses conclusions dépend de la résolution de l'hypothèse de Riemann, les mathématiciens la qualifient d'hypothèse plutôt que de conjecture.
Le terme « hypothèse » sous-entend fortement qu'il s'agit d'une supposition essentielle pour les mathématiciens afin d'établir une théorie.
Si cette hypothèse se révèle exacte, les plus de 500 articles qui circulent actuellement seront également automatiquement validés et organisés.

▼Les nombres premiers et l'hypothèse de Riemann par Barry Major et William Stein
À une époque où il était difficile de trouver des ouvrages de vulgarisation sur l'hypothèse de Riemann, Seungsan a traduit et publié deux excellents livres sur le sujet : The Riemann Hypothesis de John Derbyshire (Seungsan, 2006, 7e édition) et The Music of Prime Numbers de Marcus de Sautoy (Seungsan, 2007, 4e édition).
Et dix ans plus tard, plusieurs autres livres ont paru.
Le plus notable d'entre eux est Prime Numbers and the Riemann Hypothesis de Barry Major et William Stein, publié en 2015.
La première partie ne contient pratiquement aucune formule mathématique.
Il a été écrit pour les lecteurs intéressés ou curieux des concepts mathématiques, mais qui n'ont jamais étudié de sujets avancés.
La première partie présente un aperçu du cœur de l'hypothèse de Riemann et explique pourquoi elle a été étudiée avec autant de ferveur.
Aucun calcul différentiel n'a été utilisé.
Bien qu'il y ait eu une contrainte, à savoir qu'elle devait être expliquée aussi simplement que possible, la première partie est complète en elle-même, dans le sens où elle possède un début, un milieu et une fin.
Même les lecteurs qui ne liront que la première partie pourront ressentir et apprécier le charme de l'hypothèse de Riemann, un sujet important en mathématiques.
La deuxième partie s'adresse aux lecteurs qui ont suivi un cours de calcul différentiel et intégral au moins une fois, même si cela fait longtemps qu'ils n'ont pas étudié cette matière.
Cette section constitue une introduction sommaire à la compréhension des types d'analyse de Fourier qui apparaîtront plus tard, et la clé réside dans le concept de spectre.
La troisième partie est destinée aux lecteurs qui souhaitent voir plus clairement le lien entre la position des nombres premiers et le spectre de Riemann (que nous appellerons ainsi).
La partie 4 est une section qui nécessite un certain niveau de connaissance des fonctions analytiques complexes pour être comprise, et elle traite du point de vue de Riemann, le dernier sujet de ce livre.
Cette vision relie le spectre de Riemann discuté dans la partie 3 aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.
Nous présentons également un aperçu général de la manière plus classique dont l'hypothèse de Riemann a été expliquée dans les publications précédentes.
En Amérique, nous avons essayé de montrer le lien entre le texte et les références.
De plus, à mesure que l'on avance dans le domaine, des connaissances mathématiques plus approfondies sont nécessaires, et des explications plus techniques sont fournies en Amérique.
Les deux auteurs, Major et Stein, sont des experts reconnus dans l'étude des interactions entre les aspects analytiques, géométriques et arithmétiques de l'hypothèse de Riemann.
Stein est également le fondateur du projet de logiciel mathématique Sage.
Il a fallu dix ans à ces deux personnes partageant les mêmes idées pour achever cet ouvrage novateur, mais il est court et concis.
À la fin de chaque période d'écriture annuelle, je téléchargeais le manuscrit (avec ses erreurs) en ligne et demandais aux lecteurs de réagir.
Par conséquent, tous les commentaires, corrections et demandes que j'ai reçus de lecteurs sont rassemblés dans ce livre.

L'auteur et l'éditeur ont organisé l'essence de l'hypothèse de Riemann en plusieurs courts chapitres, organisés par idée.
Les lecteurs peuvent soit lire attentivement chaque chapitre, soit sauter les étapes fastidieuses et aller directement au but.
Cette configuration est idéale pour relire sans cesse, où et quand vous le souhaitez.
J'espère que ce livre continuera d'inspirer les lecteurs par les mathématiques.