Préface 4

Histoire de l'intégration 8
Début de l'intégration 11

Chapitre 1 ? Intégrales indéfinies 17
Intégrale indéfinie 18 Formule pour (+) dans l'intégrale indéfinie 31
Intégrale indéfinie des fractions partielles 33 Formule intégrale indéfinie des fonctions trigonométriques 34
Formules intégrales indéfinies pour les fonctions exponentielles et logarithmiques 40
Problèmes de limites dans les intégrateurs indéfinis 42 Intégrateurs indéfinis et fonctions polynomiales 53
Méthode d'intégration par substitution 55

Chapitre 2 ? Intégrales définies 61
Section 62 : Qu'est-ce qu'une intégrale définie ? 75
Relation entre intégrateurs définis et indéfinis 78 Propriétés des intégrateurs définis 92
Intégrales définies de fonctions paires et impaires 92 Intégrales définies avec valeurs absolues 103
Utilisation de l'intégration par substitution dans les intégrales définies 113 Utilisation de la substitution trigonométrique dans les intégrales définies 120
Utilisation de l'intégration partielle dans les intégrales définies 123 Relation entre les séries infinies et les intégrales définies 130

Chapitre 3 Intégrale d'aire 139
Aire entre la courbe et l'axe des coordonnées : 140 ; aire entre la courbe et le cercle : 145
Aire entre la courbe et la ligne 153

Chapitre 4???? Intégrale du volume 165
Faire pivoter une forme délimitée par deux courbes autour d'un axe 172
Faire pivoter une forme délimitée par deux courbes autour d'un axe 184

Chapitre 5???? Vitesse, Intégration de la distance 187
Mouvement rectangulaire 188 Distance dans le mouvement plan 204

Chapitre 6 : Utilisation de l'intégration en statistique 209

La capacité de percevoir l'ensemble par l'accumulation des changements, dont le point de départ est l'intégration.
Si vous voulez mesurer avec précision la surface et le volume, on en revient finalement à l'intégration.
Si la différenciation nous montre des moments, l'intégration les relie entre eux pour former une image complète.
L'intégration étant l'un des outils les plus puissants qui relient les mathématiques, même si vous ne connaissez que les formules de base et fondamentales de l'intégration, vous pouvez les appliquer à divers domaines des mathématiques.

Dès que vous comprenez l'intégration, la structure des fonctions et des graphiques devient claire en un coup d'œil.
Nous vivons dans un monde où les choses changent petit à petit chaque jour.
La distance que nous parcourons chaque jour, le nombre de vidéos que nous regardons sur nos smartphones, le temps que nous consacrons à nos études, et même la durée d'action d'une tasse de café sur notre organisme – ce sont autant de « changements qui s'accumulent petit à petit » que nous ne pouvons pas percevoir immédiatement.

L'intégration est un moyen de nous aider à comprendre la situation dans son ensemble en rassemblant ces petits changements.
Réfléchir à des formules et des symboles difficiles peut être intimidant, mais l'intégration est en réalité une façon de penser que nous utilisons déjà naturellement.
Par exemple, pensez à l'augmentation des points d'expérience dans un jeu.
Un petit point peut paraître insignifiant, mais leur accumulation permet de réaliser une grande progression.
Nous ne nous en rendons tout simplement pas compte, mais c'est exactement ce que fait l'intégration.
L'intégration était à l'origine une formule de calcul de surface, mais dans le monde actuel, elle est utilisée dans un éventail de domaines beaucoup plus large.
Calculer le nombre de calories que nous consommons par jour, estimer la quantité d'eau de pluie que nous recevons pendant la saison des pluies, analyser la façon dont la caféine se dissipe lentement de notre corps, et même calculer le nombre d'heures de vidéo que nous regardons sur YouTube chaque jour, tout cela nécessite une approche globale.

En d'autres termes, l'intégration est le processus qui consiste à « diviser un phénomène vaste et complexe en petits morceaux et à les examiner », puis à réassembler ces morceaux pour comprendre l'ensemble.
Ce mode de pensée n'est pas seulement utilisé en mathématiques.
Même l'IA actuelle, d'une certaine manière, intègre les éléments. Lorsqu'elle comprend une image, elle ne la perçoit pas comme un tout, mais la décompose en de nombreux éléments plus petits, les analyse, puis les synthétise.
Les algorithmes de recommandation musicale collectent toutes les petites actions que nous effectuons lorsque nous écoutons de la musique — des traces comme la lecture, le passage à la piste suivante et la répétition — et utilisent ces informations pour déterminer nos goûts.
En fin de compte, tous les systèmes fonctionnent en lisant une « collection de petits changements », qu'il s'agisse de prédire les risques en finance ou de détecter les signes de maladie en imagerie médicale.
L'intégration n'est donc pas simplement une formule apprise en cours de mathématiques, mais elle est plutôt proche du langage fondamental qui fait avancer le monde d'aujourd'hui.
L'intégration des apprentissages ne consiste pas à mémoriser des symboles complexes, mais à développer une capacité à percevoir un monde en constante évolution.
Nous devons être capables de comprendre d'où vient un résultat et quels petits changements permettent d'obtenir ce résultat.
La raison pour laquelle les efforts d'étude n'augmentent pas, l'exercice physique est moins efficace et la gestion du temps est difficile découle de l'incapacité à reconnaître les « petits changements qui s'accumulent ».

Une fois que l'on comprend l'intégration, ces choses commencent à apparaître comme une structure claire plutôt que comme une simple sensation.
Lorsque nous constatons comment de petits changements s'accumulent pour produire de grands résultats, nous pouvons porter des jugements plus précis et faire des choix plus judicieux.
L'intégration n'est donc plus une compétence réservée aux scientifiques et aux ingénieurs.
Nous vivons à une époque où étudiants, employés de bureau et créateurs doivent tous comprendre les changements qui s'accumulent.

Ceux qui comprennent l'intégration acquièrent le pouvoir de lire les données, d'élargir leur perspective sur le passage du temps et la capacité de décomposer calmement des phénomènes complexes et de les réassembler.
Cette capacité n'est pas destinée à être testée, mais constitue un outil fondamental pour comprendre la vie.
En fin de compte, il n'y a qu'une seule raison d'apprendre l'intégration.

Le monde n'est pas immobile, tout continue de changer et de s'accumuler.
Le langage qui nous indique comment percevoir et comprendre ce changement, c'est l'intégration.
Et une fois que nous maîtrisons ce langage, les mouvements du monde dans lequel nous vivons commencent à apparaître beaucoup plus clairement.
À présent, posons les bases de la compréhension du monde avec « L'intégrale mathématique la plus simple », qui vous enseigne les intégrales les plus élémentaires.