À propos de l'auteur
Préface à la 2e édition
Préface à la première édition
Introduction du traducteur
Note du traducteur

Aperçu du chapitre 1
1.0 Chaos, Fractales, Dynamique
1.1 Une brève introduction à l'histoire de la dynamique
1.2 L'importance de la non-linéarité
Système non autonome
Pourquoi les problèmes non linéaires sont-ils si difficiles à comprendre ?
1.3 Le monde dans une perspective dynamique

Partie 1 Écoulement unidimensionnel

Chapitre 2 Flux sur la ligne
2.0 Introduction
2.1 Penser géométriquement
2.2 Points fixes et stabilité
2.3 Croissance démographique
Critique du modèle logistique
2.4 Analyse de stabilité linéaire
2.5 Existence et unicité
2.6 Impossibilité de vibration
Analyse mécanique : Systèmes suramortis
2.7 Potentiel
2.8 Résolution d'équations sur ordinateur
La méthode d'Euler
_amélioration
Problèmes pratiques
Chapitre 2 Exercices pratiques

Chapitre 3 : La bifurcation
3.0 Introduction
3.1 Division du point de selle
_Notation schématique
Type standard
3.2 Branchement critique transcendantal
3.3 Seuil laser
_Contexte physique
_modèle
3.4 Fourche à râteau
Fourchage supercritique au râteau
Fourchage sous-critique du râteau
_Terminologie
3.5 Perle suramortie sur un anneau circulaire rotatif
_1ère analyse du système
_Analyse dimensionnelle et mise à l'échelle
_paradoxe
_Analyse du plan de phase
_Extrême singulier
3.6 Ramifications incomplètes et changements soudains
Des perles sur un fil incliné
3.7 Infestation d'insectes
_modèle
_S'exprimer sans dimensions
Analyse du point fixe
Calcul de la courbe de la fourche
Comparaison avec les observations
Chapitre 3 Exercices pratiques

Chapitre 4 Flux sur le cercle
Introduction à la version 4.0
4.1 Exemples et définitions
4.2 Vibrateur uniforme
4.3 Vibrateurs non uniformes
Champ vectoriel
Cycle de vibration
_Le gobelin et le goulot d'étranglement
4.4 Pendule suramorti
4.5 Lucioles
_modèle
_analyser
4.6 Jonction Josephson supraconductrice
_Contexte physique
_Relation Josephson
Circuit électronique et pendule correspondant à la jonction Josephson
Valeurs typiques des paramètres
Formule sans dimension
Exercices du chapitre 4

Partie 2 Écoulement bidimensionnel

Chapitre 5 Systèmes linéaires
5.0 Introduction
5.1 Définitions et exemples
_Langage de stabilité
5.2 Types de systèmes linéaires
_Types de points fixes
5.3 Rencontres
Exercices du chapitre 5

Chapitre 6 Plan de phase
6.0 Introduction
6.1 Diagramme de phase
Diagramme de phase obtenu par calcul numérique
6.2 Existence, unicité et conséquences topologiques
6.3 Points fixes et linéarisation
Système linéarisé
_Effet des petits termes non linéaires
Points fixes hyperboliques, équivalence topologique, stabilité structurale
6.4 Lapin contre mouton
6.5 Système de conservation
Centre non linéaire
6.6 Système réversible
6.7 Pendule
_Espace topologique cylindrique
_atténuation
6.8 Théorie des indicateurs
_Indicateur de courbe fermée
_Nature des indicateurs
Indicateur au point _
Exercices du chapitre 6

Chapitre 7 Orbites périodiques extrêmes
7.0 Introduction
7.1 Exemple
7.2 Rejet des orbites fermées
Système d'inclinaison
Fonction _Lyapunov
_Dulak standard
7.3 Théorème de Poincaré-Bendixon
Il n'y a pas de chaos dans le plan de phase
7.4 Système Lienaar
7.5 Vibration de relaxation
7.6 Oscillateurs non linéaires faibles
_La théorie des perturbations régulières et ses échecs
Deux horaires
Équation moyenne
Vérification de deux techniques de synchronisation
Exercices du chapitre 7

Chapitre 8 : La bifurcation revisitée
8.0 Introduction
8.1 Point de selle, seuil de transcendance et fourche de râteau
_Fendage du point de selle
_Seuil de transcendance et fourche de râteau
8.2 Hope Split
_Séparation de l'espoir supercritique
Règle générale
Fourchette d'espoir sous-critique
_Fourches sous-critiques, supercritiques ou chevauchantes ?
8.3 Réactions chimiques vibratoires
« La découverte qui a été faite » de Belousov
Réaction du dioxyde de chlore à l'iode et à l'acide malonique
8.4 Bifurcation globale des orbites circulaires
_Séparation du point de selle de l'orbite circulaire
_Ramification en cycle infini
_Division du même groupe
_Loi d'échelle
8.5 Différentes voies d'entraînement du pendule et du joint Josephson
Équation de base
_Point fixe
_L'existence d'orbites fermées
_Caractère unique des orbites périodiques extrêmes
_Division du même groupe
_Autres courbes de chemin et de sensibilité pour le courant-tension
8.6 Oscillateurs couplés et quasi-périodicité
Système séparé
_Système combiné
8.7 Idée de Poincaré
_Stabilité linéaire des orbites périodiques
Exercices du chapitre 8

Partie 3 Chaos

Chapitre 9 Équations de Lorenz
9.0 Introduction
9.1 Moulin à eau du chaos
_notation
Conservation de la masse
Équilibrage du couple
Équation d'amplitude
_Point fixe
9.2 Propriétés simples de l'équation de Lorenz
_Non-linéarité
_Symétrie
_Réduction de volume
_Point fixe
Stabilité linéaire à l'origine
_Stabilité globale de l'origine
Stabilité de _C+ et C-
9.3 Chaos dans l'étrange attracteur
Divergence exponentielle des trajectoires environnantes
Définir le chaos
_Définition des attracteurs et des attracteurs étranges
9.4 Lorenz pensa
_À l'exclusion des périodes orbitales extrêmes stables
9.5 Exploration de l'espace des paramètres
9.6 Utiliser le chaos pour envoyer des messages sécurisés
_Démonstration de Cuomo
Preuve de synchronisation
Exercices du chapitre 9

Chapitre 10 La pensée unidimensionnelle
10.0 Introduction
10.1 Points fixes et toiles d'araignée
_Point académique
Stabilité du point fixe et linéaire
_araignée
10.2 Logistique : une approche numérique
Doublement de période
_Chaos et intervalles périodiques
10.3 Logistique : une approche interprétative
10.4 Intervalle périodique
Intermittence
_Doublement de la période dans l'intervalle
10,5 exposant de Lyapunov
10.6 Universalité et expérimentation
Universalité qualitative : séquence U
Universalité quantitative
Vérification expérimentale
Quel rapport entre la pensée unidimensionnelle et la science ?
10.7 Renormalisation
_Premiers pas vers la renormalisation
Exercices du chapitre 10

Chapitre 11 Fractales
11.0 Introduction
11.1 Ensembles dénombrables et indénombrables
11.2 Ensembles Cantor
Propriétés fractales des ensembles de Cantor
11.3 Dimensions des fractales auto-similaires
_paradoxe
Dimension de similarité
_Ensembles de Cantor plus généraux
11.4 Dimensions de la boîte
Définition des dimensions de la boîte
_Critique des dimensions de la boîte
11.5 Dimension de corrélation point par point
_Fractales multiples
Exercices du chapitre 11

Chapitre 12 : L'étrange attracteur
12.0 Introduction
12.1 L'exemple le plus simple
_Fabrication de pâtisserie
_Terminologie
_L'importance de la consommation
12.2 Pensée d'Hénon
Propriétés fondamentales de la pensée de Hénon
_Sélectionnez les paramètres
Zoomez sur l'attracteur étrange
Variété instable de points de selle
12.3 Système Rösler
12.4 Chaos chimique et reconstruction de l'attracteur
Critique de la reconfiguration de la traînée
Oscillateur à double puits forcé de 12,5 V
Système mécanique magnétoélastomère
_Double interprétation du puits
_Modèles et simulations
_Chaos temporaire
Limites du domaine fractal
Chapitre 12 Exercices pratiques

Solutions aux problèmes d'entraînement sélectionnés
Références
Recherche

Dévoiler l'ordre caché d'un monde complexe grâce à la dynamique non linéaire et à la théorie du chaos
Une introduction claire aux sciences, choisie par des centaines de milliers de lecteurs à travers le monde.

Le monde dans lequel nous vivons regorge de systèmes complexes et à plusieurs niveaux qui ne peuvent être expliqués par des lois simples ou des principes linéaires.
Le changement climatique, l'équilibre des écosystèmes, les fluctuations des marchés financiers, l'activité des réseaux neuronaux dans le cerveau, et même le fonctionnement des technologies de pointe – tous ces phénomènes sont en constante évolution, imbriqués et non linéaires, créant un environnement chaotique et imprévisible.

Comprendre et prédire des systèmes aussi complexes constitue l'un des défis les plus importants de la science et de l'ingénierie modernes.

Nonlinear Dynamics and Chaos 2/e est l'ouvrage d'introduction de référence dans ce domaine, choisi par des centaines de milliers de scientifiques, d'ingénieurs et d'étudiants du monde entier.
L'auteur Stephen Strogatz explique les mathématiques difficiles et les concepts abstraits d'une manière intuitive et claire que tout le monde peut comprendre, et il fournit une multitude d'exemples concrets tirés de divers domaines tels que la physique, la biologie, la chimie et l'ingénierie.

En particulier, la deuxième édition publiée cette fois-ci offre une compréhension plus approfondie de la dynamique non linéaire et du chaos à travers divers domaines et problèmes d'application, tels que le comportement animal et la mécanique classique, et améliore la compréhension de ces phénomènes.
Grâce à cet ouvrage, les lecteurs pourront comprendre et acquérir des connaissances approfondies sur la dynamique non linéaire.


◈ Note de l'auteur ◈

Ce livre est basé sur un cours d'un semestre que j'ai enseigné au MIT au cours des dernières années, destiné aux étudiants qui découvrent la dynamique non linéaire et le chaos, en particulier ceux qui suivent ces cours pour la première fois.
L’objectif était d’expliquer les expressions mathématiques aussi clairement que possible et de montrer comment les mathématiques peuvent être utilisées pour comprendre les merveilles du monde non linéaire.

Bien que l'approche mathématique soit utilisée de manière simplifiée et informelle, elle est traitée avec soin, en mettant l'accent sur les méthodes analytiques, les exemples concrets et l'intuition géométrique.
Partant des équations différentielles du premier ordre et de leurs branches, il a développé systématiquement la théorie, passant à l'analyse de l'espace des phases, aux orbites périodiques limites et à leurs branches, et concluant avec l'équation de Lorenz, le chaos, la cartographie itérative, le doublement de période, la renormalisation, les fractales et les attracteurs étranges.

L'une des particularités de cet ouvrage est son orientation vers la pratique.
Ces technologies incluent les vibrations mécaniques, les lasers, les biorythmes, les circuits supraconducteurs, les infestations d'insectes, les oscillateurs chimiques, les systèmes de contrôle génétique, les moulins à eau chaotiques, et même des technologies permettant d'utiliser le chaos pour envoyer des messages secrets.
Dans chaque cas, la théorie mathématique était étroitement intégrée au contexte scientifique.

Les connaissances préalables requises comprennent le calcul à une variable, notamment le tracé de courbes, les séries de Taylor et les équations différentielles séparables.
Dans certaines parties, on utilise le calcul multivarié (différentiation partielle, matrices jacobiennes, théorème de divergence) ou l'algèbre linéaire (valeurs propres et vecteurs propres).
Il n'est pas supposé que vous ayez appris l'analyse de Fourier, mais celle-ci est développée et utilisée lorsque cela s'avère nécessaire.
Le manuel couvre l'ensemble des notions de physique de niveau introductif.
Les connaissances scientifiques requises varieront en fonction de l'application visée, mais dans tous les cas, avoir suivi des cours d'introduction est suffisant.

De plus, ce livre peut être utilisé pour de nombreux types de conférences.

Il s'agit d'un cours d'introduction général destiné aux étudiants débutants en dynamique non linéaire (le type de cours que j'enseignais auparavant), couvrant les notions fondamentales au début de chaque chapitre, puis abordant plus en détail quelques applications sélectionnées.
Vous pouvez parcourir l'ensemble du livre en survolant ou en omettant les sujets théoriques avancés.
Les chapitres 1 à 8 devraient prendre environ 7 semaines, et les chapitres 9 à 12 devraient prendre environ 5 à 6 semaines.
Vous devriez veiller à consacrer suffisamment de temps pendant le semestre à l'étude des thèmes du chaos, de la pensée et des fractales dans les chapitres 9 à 12.

Bien qu'il s'agisse d'un cours traditionnel sur les équations différentielles ordinaires non linéaires, pour un cours axé davantage sur les applications que sur la théorie des perturbations, je recommande de se concentrer sur les chapitres 1 à 8.

Lors de l'enseignement d'un cours sur la ramification, le chaos, les fractales et leurs applications à des étudiants qui ont déjà rencontré l'analyse topologique plane, vous pouvez librement choisir des sujets parmi les chapitres 3, 4 et 8-12.

Tout cours devrait donner aux étudiants des devoirs à faire à la maison, basés sur les exercices situés à la fin de chaque chapitre.
Vous pouvez travailler sur des projets informatiques, comme la construction de circuits chaotiques et de systèmes mécaniques, ou vous pouvez effectuer des recherches documentaires pour acquérir une expérience pratique de la recherche de pointe.
Non seulement c'est intéressant à enseigner, mais les étudiants qui suivent le cours peuvent également trouver cela intéressant à écouter.
J'espère que vous passerez un bon moment.

◈ Note du traducteur ◈

Il n'y a pas beaucoup de différence entre l'eau à 98°C et l'eau à 99°C.
Cependant, même avec une différence de 1 °C, l'eau à 99 °C et l'eau à 100 °C sont très différentes, car l'état de la substance passe de liquide à gazeux.
De ce fait, il existe de nombreux cas autour de nous où les systèmes ne réagissent pas de manière linéaire à une variable de contrôle donnée (la température dans l'exemple précédent).
Cette non-linéarité s'applique non seulement au phénomène d'ébullition de l'eau, mais aussi à la propagation de maladies infectieuses telles que la COVID-19, la peste noire et la variole.
De subtiles différences dans la probabilité de transmission permettent à certaines épidémies de se propager à l'échelle mondiale, tandis que d'autres ne se propagent que localement.
Ces différences sont également dues à la non-linéarité.
Comment pouvons-nous donc simplifier et comprendre ce phénomène complexe ?

Les mathématiques sont souvent un outil puissant pour simplifier la réalité et découvrir des schémas sous-jacents.
En particulier, les phénomènes de bifurcation, tels que les changements de phase dans les matériaux ou la propagation des maladies infectieuses causées par la non-linéarité, se produisent dans des systèmes complètement différents, mais sont mathématiquement similaires.
Cette structure commune nous permet de comprendre des phénomènes divers en les intégrant dans un mécanisme unique.
La dynamique non linéaire nous aide à interpréter ces phénomènes complexes dans un cadre simple.

Cependant, dans le monde non linéaire, les méthodes que nous connaissons dans les systèmes linéaires, telles que la recherche directe de solutions aux équations différentielles, ne sont souvent pas possibles.
De nouvelles approches se sont donc développées et, ce faisant, de nombreuses techniques intéressantes ont émergé.
C'est là que réside le véritable intérêt, car il est impossible d'obtenir la solution exacte ; il faut plutôt analyser le comportement du système, rechercher des schémas et approcher ses caractéristiques essentielles.
Ce livre nous aide à comprendre systématiquement les phénomènes qui émergent de la non-linéarité et montre que la dynamique non linéaire n'est pas simplement un changement d'outils mathématiques, mais un concept révolutionnaire qui change notre façon même de comprendre le monde.

L'auteur du livre original, Stephen Strogatz, chercheur de renommée mondiale dans les domaines de la dynamique non linéaire et de la science des systèmes complexes, est toujours activement engagé dans la recherche.
Cet ouvrage explique les différentes méthodologies de dynamique non linéaire décrites dans le livre dans divers domaines tels que la physique, la biologie et les neurosciences, et il explique ces méthodologies à l'aide de nombreux exemples, ce qui le rend adapté comme manuel scolaire de premier cycle ou de cycle supérieur.
Ce livre convivial, riche en exemples et agrémenté d'exercices pratiques, sera d'une grande aide aux étudiants pour comprendre les nouveaux concepts.
Cette nouvelle édition sera utile aux étudiants de premier cycle et de cycles supérieurs, car elle comprend des exercices pratiques qui couvrent les recherches récentes.
En examinant un à un les sujets de recherche les plus récents tout en consultant les références, vous pouvez démarrer une nouvelle étude relativement facilement.

La plupart des traducteurs ont découvert ce livre lors de leurs cours à l'université ou en études supérieures, ils savent donc mieux que quiconque à quel point il sera utile aux étudiants.
Bien que la traduction n'ait pas été une tâche facile, j'ai pu la mener à bien grâce à l'espoir que quelqu'un puisse ressentir la même joie que j'ai éprouvée en tant qu'étudiante en lisant ce livre.
Mon cœur s'emballe quand je pense à ceux qui liront ce livre et l'apprécieront la prochaine fois.
J'espère que ce livre offrira aux lecteurs une nouvelle perspective sur la manière d'appréhender les phénomènes complexes de façon simple.