Préface iii
Chapitre 1 Propositions et formules logiques 1
1 Syntaxe des expressions logiques
2. Signification des expressions logiques
3. Conséquences logiques et modèles
4 Format régulier
Proposition à 5 variables, diagramme de Venn

Chapitre 2 : Diagramme logique 29
1. Validité de l'inférence
2. Diagramme logique
3 Logiciel de diagramme logique
4. Explosion et inférence

Chapitre 3 Système d'attestation Fitch 53
1 Introduction au système de hauteur
Structure de l'épreuve à 2 hauteurs
3 règles d'inférence de hauteur
4 techniques de rédaction de preuves

Chapitre 4 Logique du premier ordre 77
1 Pourquoi la logique du premier ordre ?
2 Syntaxe et signification de la logique du premier ordre
2.1 Syntaxe
2.2 Syntaxe du système de hauteur
2.3 Sémantique
2.4 Portée et substitution des déterminants
Règles d'inférence logique du premier ordre à 3 hauteurs
3.1 Conséquence logique propositionnelle
3.2 Introduction et élimination des qualificateurs
3.3 Introduction et suppression du signe égal
3.4 Extension des règles d'inférence

Chapitre 5 : Techniques de rédaction de preuves en logique du premier ordre 125
1. Théorie des groupes
1.1 Axiomes et théorèmes fondamentaux de la science militaire
1.2 L'équation a · x = b admet une solution unique
1,3 a · x = a · y ⇒ x = y (élimination à gauche)
1.4 Page 1 - Axiomes
2 Arithmétique de Peano
2.1 Définition et axiomes de l'arithmétique de Peano
2.2 Théorème arithmétique de Peano
2.3 Formules et techniques pour les démonstrations logiques du premier ordre

Chapitre 6 Théorie des ensembles 151
1. Ensembles, preuves et paradoxes
1.1 Concepts et terminologie de base
1.2 Preuves formelles et informelles
1.3 Propriétés fondamentales des ensembles
1.4 Nombres cardinaux, paradoxes et axiome de l'existence des ensembles
2 Relations et fonctions
2.1 Produit cartésien
2.2 Relations
2.3 Fonction

Chapitre 7 : Fondements des mathématiques et théorie axiomatique des ensembles 205
1 ensemble commandé
2 Relations d'équivalence, superstructures et homomorphismes
structure en 3 parties et structure de produit cartésien
4 Quelques sujets
4.1 Fonctionnement Pepo
4.2 Induction mathématique et complexité des chaînes
4.3 Théorie des nombres
5. Nombres cardinaux et nombres ordinaux
5.1 Définition des nombres cardinaux et des nombres ordinaux
5.2 Preuve par induction et définition récursive
5.3 Lemme de Jorn
5.4 Opérations sur les nombres ordinaux et cardinaux
5.5 L'infini et la finitude, la preuve que nous avons différée
6 Théorie axiomatique des ensembles

Référence 283
Recherche 284

Ce livre a été conçu comme manuel de logique mathématique et de théorie des ensembles pour l'enseignement universitaire. La logique mathématique étant abordée par des méthodes mathématiques, il est difficile de l'étudier sans connaître la théorie des ensembles, langage des mathématiques.
Cependant, la théorie des ensembles est difficile à étudier sans formation à la démonstration rigoureuse, c'est-à-dire sans fondements en logique.

La solution adoptée dans ce livre pour résoudre ce dilemme est un système de preuve formelle informatisé.
Autrement dit, en laissant l'ordinateur déterminer s'il y a des erreurs dans les démonstrations rédigées par les étudiants, ces derniers sont formés à la rigueur des démonstrations mathématiques.
J'ai commencé à développer le système de logique informatique Proofmood au printemps 2009 et je l'utilise depuis pour enseigner la logique à des élèves surdoués du secondaire et à des étudiants de premier cycle.
Au début, il traitait principalement de problèmes de logique complexes utilisant la logique propositionnelle, ce qui a permis d'attirer l'intérêt de nombreux étudiants.


Le système de preuve de logique du premier ordre requis pour les cours de théorie des ensembles était suffisamment fonctionnel pour être utilisé correctement dans les cours au printemps 2011, et le système de preuve de logique du premier ordre a été utilisé avec succès dans les cours de troisième cycle au semestre d'automne 2011.
Comme il s'agissait de leur première expérience avec une démonstration formelle, de nombreux élèves étaient initialement effrayés, mais à mesure qu'ils s'y habituaient, ils ont tous obtenu de meilleurs résultats que prévu, ce qui m'a fait très plaisir.
À partir de 2012, nous prévoyons d'utiliser cela dans le cadre de la théorie des ensembles, qui est proposée comme matière de première année chaque semestre de printemps.

Les chapitres 1 à 3 de ce livre traitent de la logique propositionnelle, et si un enseignant fournit des conseils bienveillants et approfondis, même les élèves du collège pourront l'étudier avec intérêt.
Le chapitre 4 est une introduction à la logique du premier ordre. Comme une compréhension approfondie de la sémantique de la logique du premier ordre requiert des connaissances en théorie des ensembles, il me semble suffisant de l'appréhender brièvement.
Au chapitre 5, nous étudions en profondeur les preuves formelles de la logique du premier ordre à l'aide d'exemples tirés de la théorie des groupes et de la théorie des nombres.


Après une formation aux preuves formelles et à la logique mathématique dans les chapitres 1 à 5, la théorie des ensembles commence au chapitre 6.
Il couvre la quasi-totalité du contenu des manuels d'introduction classiques à la théorie des ensembles, et ajoute juste ce qu'il faut pour comprendre les concepts et la méthodologie les plus fondamentaux de la théorie axiomatique des ensembles.
Il est regrettable que les théorèmes de complétude et d'incomplétude de Gödel, les théorèmes les plus célèbres et les plus importants de la logique mathématique, n'aient pas été inclus dans cet ouvrage.
Ces théorèmes ne peuvent être correctement compris que lorsqu'on possède une maturité mathématique suffisante, et en particulier, les théorèmes d'incomplétude sont omis car je crois que le bon ordre d'étude consiste à commencer après avoir appris la théorie du calcul, la théorie des fonctions récursives et, si possible, les langages formels et la complexité algorithmique.