introduction
Chapitre 1 : Les courbes et surfaces les plus simples
1.1 Courbe plane
1.2 Cylindres, cônes, sections coniques et surfaces de révolution
1.3 Surface quadratique
1.4 Construction d'ellipsoïdes à l'aide de cordes et de surfaces quadratiques isotropes

Chapitre 1 Annexe
1.
Tracer le point de départ d'une section conique
2.
Directrice d'une section conique
3.
Modèle à tige mobile d'un hyperboloïde

Chapitre 2 Système de points régulier
2.1 Grille plane
2.2 Réseaux plans en théorie des nombres
2.3 Réseau à trois dimensions ou plus
2.4 Décision sous forme de système de points régulier
2.5 Système de points régulier et groupe de mouvement discontinu
2.6 Mouvement planaire et composition.
Classification des groupes discontinus de mouvement plan
2.7 Groupe discontinu de mouvements plans à domaine fondamental infini
2.8 Groupe cristallographique de mouvement plan.
Système de points régulier et système de points directionnel régulier.
Divisez le plan en régions congruentes
2.9 Classes de décision, groupes de mouvement dans l'espace, groupes à symétrie gauche-droite et systèmes de points
2.10 Polyèdre régulier

Chapitre 3 Disposition projective
3.1 Observations préliminaires sur le plan d'étage
3.2 lots (7 £) et (8 £)
Lot de 3,3 (9 £)
3.4 Perspective, éléments imaginaires et dualité dans le plan
3.5 Éléments virtuels et principe de dualité dans l'espace.
Théorème de Desargue et tableau de placement de Desargue (10 £)
3.6 Comparaison du théorème de Pascal et du théorème de Desargues
3.7 Observations préliminaires sur l'aménagement de l'espace
3.8 Déploiement de Raye
3.9 Hyperèdres réguliers et projections en trois et quatre dimensions
3.10 Méthodes de dénombrement en géométrie
3.11 Les six jumeaux de Schlafly

Chapitre 4 Géométrie différentielle
4.1 Courbes planes
4.2 Courbe spatiale
4.3 Courbure de la surface.
Points elliptiques, points hyperboliques, points paraboliques.
Lignes de courbure et courbes asymptotiques.
point ombilical, courbe microscopique, selle de singe
4.4 Surface sphérique et courbure gaussienne
4.5 Surface de développement, surface de la lignée mère
4.6 Torsion de la courbe spatiale
4.7 Onze propriétés de la balle
4.8 Flexion tout en préservant la surface
4.9 Géométrie elliptique
4.10 Relations entre la géométrie hyperbolique, euclidienne et elliptique
4.11 Transformations qui préservent la projection polaire et les cercles.
Modèle de Poincaré du plan hyperbolique
4.12 Carte d'aspect, carte préservant les surfaces, carte géodésique, carte continue, carte conforme
4.13 Théorie des fonctions géométriques.
Théorème de Riemann.
Application conforme dans l'espace
4.14 Cartographie conforme des surfaces.
Surface minimale.
Le problème de Platon

Chapitre 5 Cinématique
5.1 Dispositif de liaison
5.2 Mouvement continu de corps rigide de figures planes
5.3 Dispositif pour tracer des ellipses et des cercles
5.4 Mouvement continu dans l'espace

Chapitre 6 Topologie
6.1 Polyèdres
6.2 Surfaces courbes
6.3 Surface de la section transversale
6.4 Le plan projectif comme surface fermée
6.5 Forme canonique d'une surface à connectivité finie
6.6 Cartographie topologique de soi-même sur soi-même sur une surface.
Virgule flottante.
Classe de pensée.
Surface de couverture universelle du tore
6.7 Transformation conforme d'un tore
6.8 Problèmes de zones adjacentes, problèmes réels et problèmes de coloration

Chapitre 6 Annexe
1.
Plan projectif dans l'espace à quatre dimensions
2.
Plan euclidien dans l'espace à quatre dimensions

Références
Note du traducteur
Recherche

Un véritable trésor d'idées mathématiques
Un véritable chef-d'œuvre sur la manière d'exprimer les mathématiques de façon intuitive !

▶ Introduction

Géométrie et imagination, qui a jeté les bases des méthodes d'enseignement de la géométrie moderne
Ce livre a été compilé et publié par Stefan Cohn-Posen, un élève de Hilbert, à partir des conférences qu'il a données à l'université au cours des trois années précédant sa retraite.
Le titre original est 『Anschauliche Geometrie』, qui se traduirait directement en coréen par « Géométrie intuitive », mais le titre de l'édition anglaise, 『Geometry and the Imagination』, a été emprunté.


Bien que Hilbert soit connu comme un mathématicien qui a défendu le formalisme contre l'intuitionnisme, son attitude valorisant l'intuition et l'imagination, que l'on retrouve dans ce livre, rend difficile de le qualifier simplement de formaliste.
À travers cet ouvrage, Hilbert espérait exposer de nombreux domaines de la géométrie qui pouvaient être vus et compris intuitivement, et rendre la géométrie plus accessible à ceux qui l'étudiaient.
Les efforts de nombreuses personnes ont permis d'ajouter diverses images, et en dessinant et en présentant des projections stéréoscopiques plutôt complexes ou difficiles à imaginer, nous avons réduit la difficulté d'avoir à se représenter mentalement divers axiomes et hypothèses géométriques.
Le fait que les projections de formes ou d'objets réels soient indispensables en géométrie moderne est dû aux travaux de Hilbert.


La communauté mathématique allemande a atteint son apogée durant l'ère Hilbertienne, centrée à Göttingen, puis a commencé à décliner avec la montée du nazisme.
Des traces de cette histoire malheureuse subsistent dans les informations bibliographiques de 『Géométrie et Imagination』.
C’est le cas de Stefan Cohn-Posen, un élève de Hilbert qui a participé à la rédaction de cet ouvrage en tant que co-auteur.
Cohn-Posen était juif et, à l'époque, l'Allemagne ne reconnaissait aucun droit aux Juifs en raison du nazisme ; il ne figurait donc pas parmi les coauteurs lors de la publication de l'ouvrage. Ce n'est qu'après sa mort, lors de la traduction de la version anglaise, qu'il fut reconnu comme coauteur.


Hilbert, un mathématicien qui a marqué l'histoire des mathématiques du XXe siècle

On peut affirmer sans exagérer que les mathématiques de la première moitié du XXe siècle sont entièrement le fruit des réalisations de la communauté mathématique allemande.
À cette époque, le monde mathématique se concentrait sur l'organisation des axiomes non établis, sur la topologie et la théorie des ensembles, et Hilbert a influencé tous ces domaines et a établi une tendance dans la philosophie des mathématiques.


Les plus grandes réalisations de Hilbert à l'apogée de sa carrière se sont déroulées dans les domaines de la théorie des fonctions et de la physique.
Hilbert a approfondi sa compréhension des espaces de dimension infinie en étudiant la théorie des équations intégrales.
Aujourd'hui, le terme « espace de Hilbert » est devenu incontournable pour les physiciens comme pour les mathématiciens.
Il a notamment contribué à la théorie de la décomposition spectrale dans cet espace, qui est devenue la base de la mécanique quantique de Heisenberg et Schrödinger en 1925.
Par ailleurs, le calcul variationnel, une méthodologie importante en physique mathématique, est également un sujet auquel Hilbert a consacré de grands efforts, et cela se voit fréquemment dans le chapitre 4 de ce livre.
L'importance des travaux de Hilbert se mesure au fait que Courant, dans son ouvrage « Methodology of Mathematical Physics », cite de nombreuses conférences et articles de Hilbert, et le mentionne même comme co-auteur, soulignant son influence décisive sur la recherche et l'enseignement des mathématiques.


La communauté mathématique allemande a atteint son apogée durant l'ère Hilbertienne, avec Göttingen comme centre névralgique.
Cependant, dans ses dernières années, Hilbert lui-même fut pris dans la tourmente de la guerre et dut assister à l'effondrement du monde des mathématiques qu'il aimait.
Peu de ses collègues ont pu assister aux obsèques de ce grand mathématicien, chercheur, écrivain et conférencier de génie.


Quels étaient les problèmes sur lesquels Hilbert s'est tant penché ?

« Géométrie et imagination » offre également un aperçu des problèmes qui intéressaient Hilbert.
Il est particulièrement intéressant de noter que Hilbert s'est également intéressé au problème spéculatif suivant : « Combien de couleurs sont nécessaires pour peindre les frontières de chaque pays sans se chevaucher ? »

De plus, ce livre ne se contente pas de présenter la représentation intuitive de la géométrie, mais montre aussi très simplement comment l'intuition géométrique peut être traduite en idées utiles dans un large éventail de domaines, notamment l'algèbre et la cinématique.
Par exemple, après avoir considéré la cellule unitaire, nous pouvons facilement dériver la série de Leibniz en ajoutant un peu de théorie des nombres lorsque cela est nécessaire, ou dans la section sur les réseaux à trois dimensions et plus, nous pouvons traiter des problèmes d'empilement sphérique, y compris le célèbre problème de Kepler.


L'influence des ouvrages de Hilbert et Cohn-Posen au cours de ce siècle est indéniable.
Le chapitre le plus marquant est celui consacré aux « arrangements projectifs », dans lequel Hilbert et Cohn-Posen proposent une brève introduction qui explique de manière concise et claire pourquoi les géomètres devraient s'intéresser à la géométrie projective et comment ils en sont venus à l'idée de décrire des structures complexes avec un dispositif aussi simple.
Le chapitre sur la cinématique contient une argumentation intéressante sur la géométrie des agencements de points et de tiges, qui sont en quelque sorte contraintes par leur connexion aux mécanismes.
En géométrie, ce sujet revêt une importance croissante à l'époque moderne, notamment en robotique.
Voici un autre exemple de la façon d'intégrer une géométrie riche dans une situation simple.


Géométrie et Imagination est l'un des rares classiques qui reste largement lu, même plus d'un demi-siècle après sa publication.
Ce livre, qui reste d'actualité malgré le temps qui passe, regorge d'idées claires et élégantes qui expliquent bien les mathématiques.
J'espère que les débutants comme les experts en mathématiques prendront plaisir à se plonger dans cette véritable mine d'idées.

Des classiques de l'histoire des mathématiques font leur entrée dans le monde de la lecture.
La riche inspiration contenue dans l'œuvre originale reste intacte !

« Geometry and Imagination » de Hilbert et Cohn-Posen est le deuxième volume de la série Sallim Math Classic, publié après « Elements of Algebra » d'Euler.
Bien que l'on affirme que l'histoire des mathématiques constitue le fondement et la base de la compréhension de l'histoire de la culture et de la pensée, en réalité, il n'existe pratiquement aucune traduction d'œuvres classiques de l'histoire des mathématiques au sein de notre communauté intellectuelle.
En ce sens, la collection Sallim Math Classics constituera un projet précieux qui comblera un vide dans notre culture de l'édition.


Nous sollicitons votre vif intérêt et votre soutien pour ce projet, qui rend accessibles au grand public des chefs-d'œuvre de l'histoire des mathématiques, notamment les « Fondements de la géométrie » de Hilbert.