Une histoire vraie de logique racontée par un mathématicien
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Description
Introduction au livre
« Le moyen le plus efficace de développer ses capacités de réflexion ! »
La puissance de la pensée d'une autorité mondialement reconnue en topologie !
Un festin de géants intellectuels, d'Aristote à Alan Turing !
L'auteur de ce livre, le professeur Song Yong-jin de l'université Inha, a été chef ou vice-chef de la délégation coréenne aux Olympiades internationales de mathématiques pendant plus de 20 ans, contribuant aux deux premières places remportées par la Corée.
Ayant enseigné pendant longtemps des matières telles que la logique mathématique, l'argumentation et la théorie des ensembles à l'université, l'auteur s'est rendu compte que les étudiants étaient particulièrement faibles en matière de raisonnement logique et que leur esprit cessait soudainement de fonctionner lorsqu'ils étaient confrontés à la logique.
J'ai également appris que la raison n'est pas que les élèves sont stupides, mais qu'ils n'ont pas l'occasion de se familiariser avec la logique.
Ce livre est structuré de manière à ce que toute personne ayant même le plus léger intérêt pour la logique puisse facilement acquérir diverses connaissances utiles en la matière et se familiariser avec elle.
La plupart des ouvrages de logique que nous avons vus jusqu'à présent sont soit des livres destinés à de jeunes étudiants apprenant la langue coréenne, soit des manuels de logique formelle et complexe pour les étudiants universitaires en philosophie.
Cependant, ce livre est un ouvrage de logique populaire unique en son genre, qui tire parti des atouts des mathématiciens et traite de la logique véritable.
La puissance de la pensée d'une autorité mondialement reconnue en topologie !
Un festin de géants intellectuels, d'Aristote à Alan Turing !
L'auteur de ce livre, le professeur Song Yong-jin de l'université Inha, a été chef ou vice-chef de la délégation coréenne aux Olympiades internationales de mathématiques pendant plus de 20 ans, contribuant aux deux premières places remportées par la Corée.
Ayant enseigné pendant longtemps des matières telles que la logique mathématique, l'argumentation et la théorie des ensembles à l'université, l'auteur s'est rendu compte que les étudiants étaient particulièrement faibles en matière de raisonnement logique et que leur esprit cessait soudainement de fonctionner lorsqu'ils étaient confrontés à la logique.
J'ai également appris que la raison n'est pas que les élèves sont stupides, mais qu'ils n'ont pas l'occasion de se familiariser avec la logique.
Ce livre est structuré de manière à ce que toute personne ayant même le plus léger intérêt pour la logique puisse facilement acquérir diverses connaissances utiles en la matière et se familiariser avec elle.
La plupart des ouvrages de logique que nous avons vus jusqu'à présent sont soit des livres destinés à de jeunes étudiants apprenant la langue coréenne, soit des manuels de logique formelle et complexe pour les étudiants universitaires en philosophie.
Cependant, ce livre est un ouvrage de logique populaire unique en son genre, qui tire parti des atouts des mathématiciens et traite de la logique véritable.
indice
Pour commencer,
Partie 1 : Pourquoi la logique ?
01 Se familiariser avec la logique
La logique s'apprend avec le corps, non avec la tête / Le début de la pensée logique : reconnaître ce qui doit l'être / Jugement et discernement : des capacités essentielles pour l'homme moderne / Les étudiants n'ont pas à s'inquiéter de l'avenir
02 La vertu de la précision
La personne qui enseigne, la personne qui enseigne / La difficulté de la langue coréenne / La difficulté due aux caractères chinois
03 Argumenter et souligner
Se familiariser avec la critique / Culture intellectuelle / Petites injustices rencontrées autour de nous
Partie 2 : Pensée logique
04 Fondements de la logique
Mathématiques et logique en Grèce et en Arabie / Propositions et arguments / Les débuts de la logique : « Tout » et « Quelques »
05 Logique et mathématiques apprises à l'école
On n'apprend pas les ensembles à l'école / Les mathématiques sont intrinsèquement difficiles / Accepter de nouveaux concepts / Comment bien débattre
06 Logique et mathématiques
Logique, théorie des ensembles, fondements des mathématiques / Le pouvoir des symboles / Exemples de raisonnement logique
07 Histoire paradoxale
Paradoxe de Zénon / Paradoxe de Russell / Paradoxe de Berry / Paradoxe de Saint-Pétersbourg / Paradoxe de Banach-Tarski
08 Six types d'erreurs
Erreur de généralisation hâtive / Erreur de raisonnement dichotomique / Erreur due à la confusion entre conditions nécessaires et suffisantes / Erreur due à des hypothèses erronées / Erreur de confirmation / Erreur due à un manque de culture scientifique
Partie 3 : Le développement de la logique moderne
09 Le début d'une nouvelle logique
Évolution de l'Allemagne au XIXe siècle / Gottlob Frege / Giuseppe Peano / Bertrand Russell
10 Développement de la logique mathématique
Quatre caractéristiques de la nouvelle logique / Cantor sur l'infini / Logicisme, formalisme et intuitionnisme / Le théorème d'incomplétude de Gödel et l'effondrement du formalisme
11 Logique moderne
Le grand logicien Tarski / Les axiomes de ZF et l'axiome du choix / Machines de Turing et calculabilité
Partie 4 : Mathématiques et logique
Une collection de 12 éléments
Pour comprendre un ensemble, il faut d'abord connaître ses symboles. L'ensemble de tous les sous-ensembles, l'ensemble des parties.
13 Compréhension infinie
Pour comprendre l'infini, il faut d'abord comprendre les fonctions. / Les ensembles infinis possèdent aussi des grands et des petits ensembles. / Le théorème de Cantor est au cœur de la théorie des ensembles infinis. / Les nombres irrationnels sont plus nombreux que les nombres rationnels. / Argument de l'union.
Recherche
Partie 1 : Pourquoi la logique ?
01 Se familiariser avec la logique
La logique s'apprend avec le corps, non avec la tête / Le début de la pensée logique : reconnaître ce qui doit l'être / Jugement et discernement : des capacités essentielles pour l'homme moderne / Les étudiants n'ont pas à s'inquiéter de l'avenir
02 La vertu de la précision
La personne qui enseigne, la personne qui enseigne / La difficulté de la langue coréenne / La difficulté due aux caractères chinois
03 Argumenter et souligner
Se familiariser avec la critique / Culture intellectuelle / Petites injustices rencontrées autour de nous
Partie 2 : Pensée logique
04 Fondements de la logique
Mathématiques et logique en Grèce et en Arabie / Propositions et arguments / Les débuts de la logique : « Tout » et « Quelques »
05 Logique et mathématiques apprises à l'école
On n'apprend pas les ensembles à l'école / Les mathématiques sont intrinsèquement difficiles / Accepter de nouveaux concepts / Comment bien débattre
06 Logique et mathématiques
Logique, théorie des ensembles, fondements des mathématiques / Le pouvoir des symboles / Exemples de raisonnement logique
07 Histoire paradoxale
Paradoxe de Zénon / Paradoxe de Russell / Paradoxe de Berry / Paradoxe de Saint-Pétersbourg / Paradoxe de Banach-Tarski
08 Six types d'erreurs
Erreur de généralisation hâtive / Erreur de raisonnement dichotomique / Erreur due à la confusion entre conditions nécessaires et suffisantes / Erreur due à des hypothèses erronées / Erreur de confirmation / Erreur due à un manque de culture scientifique
Partie 3 : Le développement de la logique moderne
09 Le début d'une nouvelle logique
Évolution de l'Allemagne au XIXe siècle / Gottlob Frege / Giuseppe Peano / Bertrand Russell
10 Développement de la logique mathématique
Quatre caractéristiques de la nouvelle logique / Cantor sur l'infini / Logicisme, formalisme et intuitionnisme / Le théorème d'incomplétude de Gödel et l'effondrement du formalisme
11 Logique moderne
Le grand logicien Tarski / Les axiomes de ZF et l'axiome du choix / Machines de Turing et calculabilité
Partie 4 : Mathématiques et logique
Une collection de 12 éléments
Pour comprendre un ensemble, il faut d'abord connaître ses symboles. L'ensemble de tous les sous-ensembles, l'ensemble des parties.
13 Compréhension infinie
Pour comprendre l'infini, il faut d'abord comprendre les fonctions. / Les ensembles infinis possèdent aussi des grands et des petits ensembles. / Le théorème de Cantor est au cœur de la théorie des ensembles infinis. / Les nombres irrationnels sont plus nombreux que les nombres rationnels. / Argument de l'union.
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Dans le livre
La logique et la rationalité commencent par «reconnaître ce qui doit être reconnu».
Nous devons adopter une attitude qui consiste à accepter les faits comme des faits, et à reconnaître la vérité lorsqu'on nous dit quelque chose de vrai.
Même si la situation qui se déroule sous vos yeux vous est défavorable, vous devez adopter une attitude qui consiste à reconnaître ce qui doit l'être et à admettre vos erreurs sans chercher d'excuses.
Des jugements ou des actions déraisonnables surviennent souvent lorsque ces principes fondamentaux ne sont pas correctement respectés.
De même que les capacités de raisonnement logique peuvent être améliorées par la pratique répétée, comme en mathématiques, l'attitude consistant à reconnaître et à accepter ce qui est juste peut également être développée par l'habitude et la pratique.
Lors des débats, nombreuses sont les personnes qui n'acceptent pas ce que dit l'autre personne, même si c'est correct et qu'il n'y a pas lieu de réfuter.
Toutefois, si vous souhaitez être bien évalué lors de la discussion, vous devez faire preuve d'une attitude reconnaissant ce qui doit l'être.
Même si quelqu'un dit quelque chose de juste, si sa conclusion diffère de votre propre opinion, vous dites souvent : « Cette personne parle bien », et vous refusez de reconnaître son opinion.
Dans notre pays, on a tendance à ne pas apprécier les gens qui ont le verbe facile.
Aux États-Unis, les personnes qui ont une bonne élocution sont très appréciées, mais dans notre pays, elles ne le sont pas autant.
À cet égard, les cultures des deux pays sont assez différentes.
---Extrait de la « Partie 1, “Pourquoi la logique ?”, pp. 24-25 »
La logique est l'étude des processus et des méthodes du raisonnement et de l'argumentation.
L'argumentation est le processus qui consiste à déterminer si quelque chose est vrai ou faux en se basant sur les connaissances existantes.
Une proposition est une phrase objective qui peut être jugée vraie ou fausse.
L'inférence consiste à déduire une autre proposition ou un autre jugement à partir d'une première proposition ou d'un premier jugement.
En logique, un processus appelé argumentation est utilisé pour déterminer si une proposition ou une inférence est vraie ou fausse.
La logique propositionnelle classique (ou logique des phrases), qui examine la vérité ou la fausseté des propositions, a été initiée par Frege et d'autres, parallèlement à l'utilisation de symboles, et est appelée logique des prédicats.
Comme il est pratique d'utiliser des « symboles logiques » pour décrire une phrase ou juger de la véracité de son contenu, les symboles sont largement utilisés en logique moderne.
Cette nouvelle logique des prédicats est donc également appelée logique symbolique.
Il serait fastidieux de présenter tous les symboles utilisés en logique symbolique ; je ne présenterai donc ici que quelques symboles clés.
Ces symboles apparaissent fréquemment dans les phrases purement mathématiques, et lorsqu'on les utilise, il est souvent plus facile de les exprimer en grammaire anglaise (européenne) qu'en grammaire coréenne.
---Extrait de la « Partie 2, Pensée logique, pp. 82-83 »
Prenons l'exemple d'un malentendu qui résulte d'une méconnaissance du sens linguistique en mathématiques.
Il existe un problème célèbre appelé « le problème de la construction d'une trisection d'un angle ».
Ce problème a été résolu dès 1837 lorsque le Français Pierre Wantzel a démontré qu'il était impossible de le construire, mais beaucoup de gens essaient encore de le résoudre.
Étonnamment, nombreuses sont les personnes qui ont tenté de trouver un moyen de trisecter n'importe quel angle en utilisant uniquement une règle et un compas, ou qui prétendent en avoir déjà trouvé un.
Cet incident se produit parce qu'ils ne comprennent pas la différence entre l'affirmation « il est impossible de le diviser en trois » et « ils ne trouvent pas le moyen de le diviser en trois ».
J'ai reçu des courriels de deux professeurs d'ingénierie me demandant d'examiner leurs solutions aux problèmes de trisection.
Il existe beaucoup de personnes comme ça à l'étranger, et on les appelle des trisecteurs.
Il était une fois un homme qui prétendait avoir découvert une méthode pour calculer pi et qui harcelait les professeurs de mathématiques de l'Université nationale de Séoul. Face à leur refus de répondre, il dépensa une somme considérable en publicité et publia sa démonstration dans un grand quotidien.
La transcendance de π a déjà été prouvée en 1882 par Ferdinand von Lindemann (1852-1939) d'Allemagne, et par conséquent π est un nombre transcendant et ne peut pas être construit (la construction signifie qu'il s'agit d'un nombre qui est une racine d'un polynôme, c'est-à-dire un nombre algébrique), donc les professeurs de mathématiques ne regarderaient même pas la méthode de construction qu'il a présentée.
En réalité, la personne qui prétendait avoir découvert la construction de π n'a pas construit la vraie valeur de π, mais plutôt une approximation de celle-ci.
---Extrait de la « Partie 2, Pensée logique, pp. 131-132 »
De nouveaux développements en logique ont débuté à la fin du XIXe siècle, principalement grâce à des mathématiciens allemands.
Cette nouvelle logique peut être qualifiée de logique moderne.
La logique classique, représentée par la logique d'Aristote, a longtemps servi de base à diverses disciplines universitaires en Europe et en Arabie, sous une forme similaire à la rhétorique.
En Europe, la logique, comme d'autres disciplines, avait longtemps peiné à se développer sous l'autorité absolue de la religion. Cependant, avec l'avènement d'une nouvelle ère d'éveil intellectuel, elle a connu des progrès remarquables.
Descartes a réalisé des avancées révolutionnaires en mathématiques au XVIIe siècle en inventant le plan cartésien et les calculs littéraux, mais je crois que sa véritable contribution aux mathématiques et aux sciences a été la présentation d'une nouvelle philosophie des sciences qui recherchait la vérité par la pure raison humaine (sans s'appuyer sur l'Église).
Ainsi, dans mes cours d'histoire des mathématiques, je présente Descartes à mes étudiants comme la personne qui a le plus contribué au développement des mathématiques dans l'histoire.
Si l'on ne considère que les réalisations liées au contenu mathématique, on trouve plus d'Euler, de Gauss, etc. que de Descartes, mais je pense qu'à l'époque, en Europe, la question de la philosophie sur laquelle fonder la recherche universitaire était plus importante.
La logique a commencé à se développer au XVIIIe siècle grâce à Hume et Thomas Reid (1710-1796) d'Écosse et Kant d'Allemagne.
À mesure qu'un nouvel esprit philosophique mûrissait, explorant la vérité de ce monde et les valeurs de la vie poursuivies par les humains à travers la pure raison humaine, la logique a naturellement jeté les bases de nouveaux développements.
---Extrait de la « Partie 3, « Développement de la logique moderne », pp. 195-296 »
Cependant, le rêve de Hilbert de construire des mathématiques formalistes fut brisé lorsque le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel annonça le théorème d'incomplétude en 1931.
Le théorème d'incomplétude de Gödel se compose de deux théorèmes.
Premier théorème : Si un système d'axiomes arithmétiques est cohérent, alors il existe des propositions qui sont vraies mais qui ne peuvent pas être prouvées.
Autrement dit, il n'est pas parfait.
Deuxième théorème : Si un système d'axiomes arithmétiques est cohérent, alors on ne peut pas déduire de ce système d'axiomes que le système d'axiomes lui-même est cohérent.
La signification des termes « complétude » et « cohérence » a été expliquée précédemment lors de la discussion du formalisme de Hilbert.
Il n'est pas facile pour le grand public de comprendre la démonstration du théorème d'incomplétude de Gödel.
Les lecteurs peuvent tout simplement comprendre qu'«il n'existe pas de système arithmétique parfait».
Cependant, le théorème d'incomplétude ne signifie pas que la logique est devenue moins importante en mathématiques, mais plutôt que la complétude du système logique a été détruite.
Elle a plutôt eu pour effet de concentrer l'attention du monde sur le mystère de la logique.
Nous devons adopter une attitude qui consiste à accepter les faits comme des faits, et à reconnaître la vérité lorsqu'on nous dit quelque chose de vrai.
Même si la situation qui se déroule sous vos yeux vous est défavorable, vous devez adopter une attitude qui consiste à reconnaître ce qui doit l'être et à admettre vos erreurs sans chercher d'excuses.
Des jugements ou des actions déraisonnables surviennent souvent lorsque ces principes fondamentaux ne sont pas correctement respectés.
De même que les capacités de raisonnement logique peuvent être améliorées par la pratique répétée, comme en mathématiques, l'attitude consistant à reconnaître et à accepter ce qui est juste peut également être développée par l'habitude et la pratique.
Lors des débats, nombreuses sont les personnes qui n'acceptent pas ce que dit l'autre personne, même si c'est correct et qu'il n'y a pas lieu de réfuter.
Toutefois, si vous souhaitez être bien évalué lors de la discussion, vous devez faire preuve d'une attitude reconnaissant ce qui doit l'être.
Même si quelqu'un dit quelque chose de juste, si sa conclusion diffère de votre propre opinion, vous dites souvent : « Cette personne parle bien », et vous refusez de reconnaître son opinion.
Dans notre pays, on a tendance à ne pas apprécier les gens qui ont le verbe facile.
Aux États-Unis, les personnes qui ont une bonne élocution sont très appréciées, mais dans notre pays, elles ne le sont pas autant.
À cet égard, les cultures des deux pays sont assez différentes.
---Extrait de la « Partie 1, “Pourquoi la logique ?”, pp. 24-25 »
La logique est l'étude des processus et des méthodes du raisonnement et de l'argumentation.
L'argumentation est le processus qui consiste à déterminer si quelque chose est vrai ou faux en se basant sur les connaissances existantes.
Une proposition est une phrase objective qui peut être jugée vraie ou fausse.
L'inférence consiste à déduire une autre proposition ou un autre jugement à partir d'une première proposition ou d'un premier jugement.
En logique, un processus appelé argumentation est utilisé pour déterminer si une proposition ou une inférence est vraie ou fausse.
La logique propositionnelle classique (ou logique des phrases), qui examine la vérité ou la fausseté des propositions, a été initiée par Frege et d'autres, parallèlement à l'utilisation de symboles, et est appelée logique des prédicats.
Comme il est pratique d'utiliser des « symboles logiques » pour décrire une phrase ou juger de la véracité de son contenu, les symboles sont largement utilisés en logique moderne.
Cette nouvelle logique des prédicats est donc également appelée logique symbolique.
Il serait fastidieux de présenter tous les symboles utilisés en logique symbolique ; je ne présenterai donc ici que quelques symboles clés.
Ces symboles apparaissent fréquemment dans les phrases purement mathématiques, et lorsqu'on les utilise, il est souvent plus facile de les exprimer en grammaire anglaise (européenne) qu'en grammaire coréenne.
---Extrait de la « Partie 2, Pensée logique, pp. 82-83 »
Prenons l'exemple d'un malentendu qui résulte d'une méconnaissance du sens linguistique en mathématiques.
Il existe un problème célèbre appelé « le problème de la construction d'une trisection d'un angle ».
Ce problème a été résolu dès 1837 lorsque le Français Pierre Wantzel a démontré qu'il était impossible de le construire, mais beaucoup de gens essaient encore de le résoudre.
Étonnamment, nombreuses sont les personnes qui ont tenté de trouver un moyen de trisecter n'importe quel angle en utilisant uniquement une règle et un compas, ou qui prétendent en avoir déjà trouvé un.
Cet incident se produit parce qu'ils ne comprennent pas la différence entre l'affirmation « il est impossible de le diviser en trois » et « ils ne trouvent pas le moyen de le diviser en trois ».
J'ai reçu des courriels de deux professeurs d'ingénierie me demandant d'examiner leurs solutions aux problèmes de trisection.
Il existe beaucoup de personnes comme ça à l'étranger, et on les appelle des trisecteurs.
Il était une fois un homme qui prétendait avoir découvert une méthode pour calculer pi et qui harcelait les professeurs de mathématiques de l'Université nationale de Séoul. Face à leur refus de répondre, il dépensa une somme considérable en publicité et publia sa démonstration dans un grand quotidien.
La transcendance de π a déjà été prouvée en 1882 par Ferdinand von Lindemann (1852-1939) d'Allemagne, et par conséquent π est un nombre transcendant et ne peut pas être construit (la construction signifie qu'il s'agit d'un nombre qui est une racine d'un polynôme, c'est-à-dire un nombre algébrique), donc les professeurs de mathématiques ne regarderaient même pas la méthode de construction qu'il a présentée.
En réalité, la personne qui prétendait avoir découvert la construction de π n'a pas construit la vraie valeur de π, mais plutôt une approximation de celle-ci.
---Extrait de la « Partie 2, Pensée logique, pp. 131-132 »
De nouveaux développements en logique ont débuté à la fin du XIXe siècle, principalement grâce à des mathématiciens allemands.
Cette nouvelle logique peut être qualifiée de logique moderne.
La logique classique, représentée par la logique d'Aristote, a longtemps servi de base à diverses disciplines universitaires en Europe et en Arabie, sous une forme similaire à la rhétorique.
En Europe, la logique, comme d'autres disciplines, avait longtemps peiné à se développer sous l'autorité absolue de la religion. Cependant, avec l'avènement d'une nouvelle ère d'éveil intellectuel, elle a connu des progrès remarquables.
Descartes a réalisé des avancées révolutionnaires en mathématiques au XVIIe siècle en inventant le plan cartésien et les calculs littéraux, mais je crois que sa véritable contribution aux mathématiques et aux sciences a été la présentation d'une nouvelle philosophie des sciences qui recherchait la vérité par la pure raison humaine (sans s'appuyer sur l'Église).
Ainsi, dans mes cours d'histoire des mathématiques, je présente Descartes à mes étudiants comme la personne qui a le plus contribué au développement des mathématiques dans l'histoire.
Si l'on ne considère que les réalisations liées au contenu mathématique, on trouve plus d'Euler, de Gauss, etc. que de Descartes, mais je pense qu'à l'époque, en Europe, la question de la philosophie sur laquelle fonder la recherche universitaire était plus importante.
La logique a commencé à se développer au XVIIIe siècle grâce à Hume et Thomas Reid (1710-1796) d'Écosse et Kant d'Allemagne.
À mesure qu'un nouvel esprit philosophique mûrissait, explorant la vérité de ce monde et les valeurs de la vie poursuivies par les humains à travers la pure raison humaine, la logique a naturellement jeté les bases de nouveaux développements.
---Extrait de la « Partie 3, « Développement de la logique moderne », pp. 195-296 »
Cependant, le rêve de Hilbert de construire des mathématiques formalistes fut brisé lorsque le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel annonça le théorème d'incomplétude en 1931.
Le théorème d'incomplétude de Gödel se compose de deux théorèmes.
Premier théorème : Si un système d'axiomes arithmétiques est cohérent, alors il existe des propositions qui sont vraies mais qui ne peuvent pas être prouvées.
Autrement dit, il n'est pas parfait.
Deuxième théorème : Si un système d'axiomes arithmétiques est cohérent, alors on ne peut pas déduire de ce système d'axiomes que le système d'axiomes lui-même est cohérent.
La signification des termes « complétude » et « cohérence » a été expliquée précédemment lors de la discussion du formalisme de Hilbert.
Il n'est pas facile pour le grand public de comprendre la démonstration du théorème d'incomplétude de Gödel.
Les lecteurs peuvent tout simplement comprendre qu'«il n'existe pas de système arithmétique parfait».
Cependant, le théorème d'incomplétude ne signifie pas que la logique est devenue moins importante en mathématiques, mais plutôt que la complétude du système logique a été détruite.
Elle a plutôt eu pour effet de concentrer l'attention du monde sur le mystère de la logique.
---Extrait de la « Partie 3, « Développement de la logique moderne », pp. 243-244 »
Avis de l'éditeur
Culture intellectuelle, paradoxe de Zénon et paradoxe de Russell
La première partie du livre parle de la culture de notre pays, où la logique n'est pas valorisée.
L'auteur donne l'exemple d'une « culture intellectuelle » qui consiste à pointer du doigt les erreurs de l'autre.
Les États-Unis, le Royaume-Uni et le Japon possèdent des cultures intellectuelles bien plus développées que la nôtre.
Lors d'un séjour d'études aux États-Unis, l'auteur a vu des gens faire la queue et a pris conscience des différences de normes culturelles.
À cette époque, chez McDonald's, si quelqu'un coupait la file d'attente et se présentait directement à la caisse, l'employé qui prenait sa commande le fusillait du regard et lui criait de faire la queue.
La culture intellectuelle étant devenue si courante, il était impossible de ne pas faire la queue.
Une expérience similaire s'est produite en Angleterre.
Lors de mon long séjour en Angleterre, j'ai acheté un vélo dans un magasin spécialisé car les transports en commun étaient peu pratiques.
Alors que je quittais le magasin et que je traversais le large trottoir en diagonale sur mon nouveau vélo, sur une vingtaine de mètres jusqu'à la route, un homme est soudainement arrivé en courant vers moi en criant.
Même si ce n'était que pour quelques secondes, l'auteur a été critiqué pour avoir circulé à vélo sur le trottoir au lieu de la route.
Les personnes qui ont grandi dans un pays doté d'une culture intellectuelle aussi forte ne peuvent s'empêcher de rechercher l'exactitude, mais nous sommes en retard dans ce domaine.
La deuxième partie présente l'histoire des mathématiques et de la logique depuis la Grèce et l'Arabie antiques, et aborde les fondements mêmes de la pensée logique.
Nous présentons également cinq paradoxes célèbres et historiquement importants en logique.
Permettez-moi de vous donner deux exemples de ces paradoxes.
Le premier est le paradoxe de Zénon.
Dans ce paradoxe, Zénon avance l'argument selon lequel « le mouvement d'une substance n'est qu'une illusion, et qu'en réalité elle est au repos (à chaque instant) ». Illustrons ce paradoxe par une histoire.
Lorsque l'Olympe court, il doit franchir le point médian de la distance jusqu'à l'arrivée, puis le point médian de la distance restante, puis le point médian de cette distance restante, et ainsi de suite, encore et encore.
Ainsi, Olympe se rapproche de la ligne d'arrivée, mais il ne l'atteint pas.
Ce paradoxe est que le processus permettant d'atteindre la moitié de la distance restante jusqu'à la ligne d'arrivée doit être répété « à l'infini » pour atteindre cette ligne, mais on en conclut qu'il est impossible d'atteindre la ligne d'arrivée en n'examinant qu'un nombre « fini » de processus.
En fin de compte, il s'agit d'une erreur qui découle de la tentative d'« expliquer des phénomènes infinis avec une pensée finie ».
Voici le paradoxe de Russell.
L'exemple le plus célèbre utilisé pour expliquer le paradoxe de Russell est le « paradoxe du barbier ».
Il y a un barbier dans un certain village.
Le barbier a dit : « Je rase la barbe de tous les villageois qui ne se rasent pas la leur. »
Alors qui coupera la barbe du barbier ?
(i) Si vous vous rasez vous-même, cela contredit le fait que vous ne rasez que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.
(ii) Si vous ne vous rasez pas, cela contredit l'affirmation selon laquelle vous raserez tous ceux qui ne se rasent pas.
Un exemple de contradiction découlant d'affirmations négatives sur soi-même, comme le paradoxe de Russell, est le « paradoxe du menteur ».
Épiménide, le philosophe et poète grec antique, aurait dit :
« Tous les Crétois sont des menteurs. » Le problème, c'est qu'Épiménide, qui a dit cela, était lui-même Crétois.
L'affirmation d'Épiménide est-elle donc vraie ou fausse ? Il convient tout d'abord de préciser cette phrase simple comme suit :
En d'autres termes, disons : « Tout ce que disent les Crétois est faux. »
Alors cette affirmation ne peut pas être vraie.
Car si cela est vrai, alors c'est faux, car cela a été dit par Épiménide, un Crétois.
Les géants qui ont façonné la logique moderne, de Cantor à Tarski
La troisième partie explique le développement et l'importance de la logique moderne et de la philosophie analytique, élaborées par les plus grands génies de l'époque, notamment Cantor, Hilbert, Frege, Russell, Whitehead, Wittgenstein, Gödel et Tarski, de la fin du XIXe siècle au début du XXe siècle.
La logique, qui constitue le fondement de toutes les disciplines académiques depuis plus de 2 000 ans, a commencé à se développer en un domaine d'étude plus indépendant et systématique à la fin du XIXe siècle, sous l'impulsion de mathématiciens allemands.
Frege soutenait que les concepts mathématiques, même les nombres, devaient être définis selon une logique complète et concrète.
Il chercha également à créer un langage formel (principalement symbolique) pour la description logique, et à dériver un système d'arithmétique à partir de la logique.
Cantor, le fondateur de la théorie des ensembles, a montré que le concept d’« infini », longtemps tabou en mathématiques et en logique, pouvait être traité logiquement, et a naturellement démontré l’importance d’un ensemble de concepts en logique.
La logique moderne systématique et rigoureuse est également appelée logique mathématique ou logique symbolique.
Cela permet de la distinguer de la logique classique partagée par les philosophes et les mathématiciens.
La logique mathématique repose sur la théorie des ensembles, qui comprend des concepts mathématiques tels que les ensembles, les opérations, les fonctions et l'infini ; c'est donc une matière difficile à comprendre pour ceux qui ne possèdent pas ces connaissances préalables.
La logique se divisait donc naturellement en logique mathématique, étudiée par les mathématiciens, et en logique, étudiée par les philosophes.
Bien que la logique soit une discipline essentielle pour les philosophes et les linguistes, car elle fournit des connaissances de base importantes pour l'étude de la philosophie et de la linguistique, l'étude de la logique moderne en tant que domaine académique indépendant à part entière est finalement revenue aux mathématiciens.
C'est comparable au fait que les statistiques sont une connaissance essentielle pour la recherche en sciences sociales comme l'économie ; il est donc obligatoire de suivre un cours de statistiques pour devenir chercheur en sciences sociales, mais le métier de statisticien consiste à se spécialiser en statistiques proprement dites.
En mathématiques, la logique est également appelée « fondements des mathématiques ».
Ceci s'explique par le fait que la logique s'est développée au cours des 100 dernières années dans le but d'établir les meilleures bases possibles pour les mathématiques, en s'appuyant sur la philosophie formaliste de Hilbert.
Cependant, la théorie fondamentale des mathématiques présente un défaut important.
L'idée est qu'il n'existe pas de système arithmétique logiquement parfait.
En 1931, le jeune mathématicien autrichien Gödel surprit le monde en annonçant le « théorème d'incomplétude » et devint aussi célèbre qu'Einstein.
Les plus grands mathématiciens de l'époque, tels que Hilbert, Peano et Russell, qui ont été les pionniers de la logique moderne, ont tenté de construire un système logique parfait.
Mais Gödel a démontré que c'était impossible.
Lorsque ce théorème d'incomplétude fut annoncé, un nouveau paradigme appelé mécanique quantique commençait à s'imposer en physique, et le principe d'incertitude d'Heisenberg était déjà connu ; les intellectuels de l'époque en vinrent donc à adopter une nouvelle vision du monde : « Il n'existe pas de vérité complète et certaine dans le monde. »
Cela a un impact considérable non seulement sur les sciences naturelles, mais aussi sur des disciplines telles que la philosophie et l'économie.
Il est paradoxal que la logique, qui recherche la perfection et la rigueur, se soit développée pour poser de bonnes bases aux mathématiques, mais ait également prouvé par la logique qu'il est impossible d'établir des bases logiquement parfaites pour les mathématiques elles-mêmes.
Bien que le monde de la logique ne soit pas parfait et que les mathématiciens ne s'appuient pas uniquement sur la logique, de nombreux logiciens à travers le monde continuent de mener des recherches actives pour trouver une base solide aux mathématiques.
La plupart des mathématiciens, consciemment ou inconsciemment, suivent la voie du formalisme mathématique prônée par Hilbert.
Même si nous savons qu'il n'y a pas de but ultime au bout de ce chemin que les mathématiciens recherchent, nous continuons à le suivre en croyant que c'est la bonne direction.
La partie 4 explique les concepts et symboles de base utilisés en mathématiques, tels que l'union, l'intersection, les fonctions et les suites, ainsi que l'induction mathématique, et présente la manière dont ces concepts sont utilisés dans les propositions et les arguments.
Il explique également comment le concept d'infini peut être traité logiquement grâce à la théorie des ensembles de Cantor.
Ici, l'infini désigne un ensemble infini, c'est-à-dire « un ensemble comportant une infinité d'éléments ».
Dans l'infini, il y a un grand infini et un petit infini.
Il explique également pourquoi il y a plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels parmi les nombres réels, combien l'infini plus grand est plus grand que l'infini plus petit, et quels problèmes surviennent lorsqu'il y a trop d'éléments dans un ensemble.
Leçons de logique pour un équilibre dans nos vies
Quand on parle de logique, on a tendance à la considérer comme un simple outil utilisé dans les arguments.
Mais la véritable logique consiste à affiner sa propre réflexion.
Même si vous êtes enclin à commettre des erreurs parce que vous vous laissez influencer par vos émotions, si vous avez une bonne formation logique basée sur le raisonnement, vous pouvez trouver une piste pour résoudre le problème et un bon équilibre.
Ce livre est particulièrement nécessaire pour notre société, où la culture émotionnelle est développée mais la culture logique est faible.
Je recommande aux lecteurs de le lire.
La première partie du livre parle de la culture de notre pays, où la logique n'est pas valorisée.
L'auteur donne l'exemple d'une « culture intellectuelle » qui consiste à pointer du doigt les erreurs de l'autre.
Les États-Unis, le Royaume-Uni et le Japon possèdent des cultures intellectuelles bien plus développées que la nôtre.
Lors d'un séjour d'études aux États-Unis, l'auteur a vu des gens faire la queue et a pris conscience des différences de normes culturelles.
À cette époque, chez McDonald's, si quelqu'un coupait la file d'attente et se présentait directement à la caisse, l'employé qui prenait sa commande le fusillait du regard et lui criait de faire la queue.
La culture intellectuelle étant devenue si courante, il était impossible de ne pas faire la queue.
Une expérience similaire s'est produite en Angleterre.
Lors de mon long séjour en Angleterre, j'ai acheté un vélo dans un magasin spécialisé car les transports en commun étaient peu pratiques.
Alors que je quittais le magasin et que je traversais le large trottoir en diagonale sur mon nouveau vélo, sur une vingtaine de mètres jusqu'à la route, un homme est soudainement arrivé en courant vers moi en criant.
Même si ce n'était que pour quelques secondes, l'auteur a été critiqué pour avoir circulé à vélo sur le trottoir au lieu de la route.
Les personnes qui ont grandi dans un pays doté d'une culture intellectuelle aussi forte ne peuvent s'empêcher de rechercher l'exactitude, mais nous sommes en retard dans ce domaine.
La deuxième partie présente l'histoire des mathématiques et de la logique depuis la Grèce et l'Arabie antiques, et aborde les fondements mêmes de la pensée logique.
Nous présentons également cinq paradoxes célèbres et historiquement importants en logique.
Permettez-moi de vous donner deux exemples de ces paradoxes.
Le premier est le paradoxe de Zénon.
Dans ce paradoxe, Zénon avance l'argument selon lequel « le mouvement d'une substance n'est qu'une illusion, et qu'en réalité elle est au repos (à chaque instant) ». Illustrons ce paradoxe par une histoire.
Lorsque l'Olympe court, il doit franchir le point médian de la distance jusqu'à l'arrivée, puis le point médian de la distance restante, puis le point médian de cette distance restante, et ainsi de suite, encore et encore.
Ainsi, Olympe se rapproche de la ligne d'arrivée, mais il ne l'atteint pas.
Ce paradoxe est que le processus permettant d'atteindre la moitié de la distance restante jusqu'à la ligne d'arrivée doit être répété « à l'infini » pour atteindre cette ligne, mais on en conclut qu'il est impossible d'atteindre la ligne d'arrivée en n'examinant qu'un nombre « fini » de processus.
En fin de compte, il s'agit d'une erreur qui découle de la tentative d'« expliquer des phénomènes infinis avec une pensée finie ».
Voici le paradoxe de Russell.
L'exemple le plus célèbre utilisé pour expliquer le paradoxe de Russell est le « paradoxe du barbier ».
Il y a un barbier dans un certain village.
Le barbier a dit : « Je rase la barbe de tous les villageois qui ne se rasent pas la leur. »
Alors qui coupera la barbe du barbier ?
(i) Si vous vous rasez vous-même, cela contredit le fait que vous ne rasez que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.
(ii) Si vous ne vous rasez pas, cela contredit l'affirmation selon laquelle vous raserez tous ceux qui ne se rasent pas.
Un exemple de contradiction découlant d'affirmations négatives sur soi-même, comme le paradoxe de Russell, est le « paradoxe du menteur ».
Épiménide, le philosophe et poète grec antique, aurait dit :
« Tous les Crétois sont des menteurs. » Le problème, c'est qu'Épiménide, qui a dit cela, était lui-même Crétois.
L'affirmation d'Épiménide est-elle donc vraie ou fausse ? Il convient tout d'abord de préciser cette phrase simple comme suit :
En d'autres termes, disons : « Tout ce que disent les Crétois est faux. »
Alors cette affirmation ne peut pas être vraie.
Car si cela est vrai, alors c'est faux, car cela a été dit par Épiménide, un Crétois.
Les géants qui ont façonné la logique moderne, de Cantor à Tarski
La troisième partie explique le développement et l'importance de la logique moderne et de la philosophie analytique, élaborées par les plus grands génies de l'époque, notamment Cantor, Hilbert, Frege, Russell, Whitehead, Wittgenstein, Gödel et Tarski, de la fin du XIXe siècle au début du XXe siècle.
La logique, qui constitue le fondement de toutes les disciplines académiques depuis plus de 2 000 ans, a commencé à se développer en un domaine d'étude plus indépendant et systématique à la fin du XIXe siècle, sous l'impulsion de mathématiciens allemands.
Frege soutenait que les concepts mathématiques, même les nombres, devaient être définis selon une logique complète et concrète.
Il chercha également à créer un langage formel (principalement symbolique) pour la description logique, et à dériver un système d'arithmétique à partir de la logique.
Cantor, le fondateur de la théorie des ensembles, a montré que le concept d’« infini », longtemps tabou en mathématiques et en logique, pouvait être traité logiquement, et a naturellement démontré l’importance d’un ensemble de concepts en logique.
La logique moderne systématique et rigoureuse est également appelée logique mathématique ou logique symbolique.
Cela permet de la distinguer de la logique classique partagée par les philosophes et les mathématiciens.
La logique mathématique repose sur la théorie des ensembles, qui comprend des concepts mathématiques tels que les ensembles, les opérations, les fonctions et l'infini ; c'est donc une matière difficile à comprendre pour ceux qui ne possèdent pas ces connaissances préalables.
La logique se divisait donc naturellement en logique mathématique, étudiée par les mathématiciens, et en logique, étudiée par les philosophes.
Bien que la logique soit une discipline essentielle pour les philosophes et les linguistes, car elle fournit des connaissances de base importantes pour l'étude de la philosophie et de la linguistique, l'étude de la logique moderne en tant que domaine académique indépendant à part entière est finalement revenue aux mathématiciens.
C'est comparable au fait que les statistiques sont une connaissance essentielle pour la recherche en sciences sociales comme l'économie ; il est donc obligatoire de suivre un cours de statistiques pour devenir chercheur en sciences sociales, mais le métier de statisticien consiste à se spécialiser en statistiques proprement dites.
En mathématiques, la logique est également appelée « fondements des mathématiques ».
Ceci s'explique par le fait que la logique s'est développée au cours des 100 dernières années dans le but d'établir les meilleures bases possibles pour les mathématiques, en s'appuyant sur la philosophie formaliste de Hilbert.
Cependant, la théorie fondamentale des mathématiques présente un défaut important.
L'idée est qu'il n'existe pas de système arithmétique logiquement parfait.
En 1931, le jeune mathématicien autrichien Gödel surprit le monde en annonçant le « théorème d'incomplétude » et devint aussi célèbre qu'Einstein.
Les plus grands mathématiciens de l'époque, tels que Hilbert, Peano et Russell, qui ont été les pionniers de la logique moderne, ont tenté de construire un système logique parfait.
Mais Gödel a démontré que c'était impossible.
Lorsque ce théorème d'incomplétude fut annoncé, un nouveau paradigme appelé mécanique quantique commençait à s'imposer en physique, et le principe d'incertitude d'Heisenberg était déjà connu ; les intellectuels de l'époque en vinrent donc à adopter une nouvelle vision du monde : « Il n'existe pas de vérité complète et certaine dans le monde. »
Cela a un impact considérable non seulement sur les sciences naturelles, mais aussi sur des disciplines telles que la philosophie et l'économie.
Il est paradoxal que la logique, qui recherche la perfection et la rigueur, se soit développée pour poser de bonnes bases aux mathématiques, mais ait également prouvé par la logique qu'il est impossible d'établir des bases logiquement parfaites pour les mathématiques elles-mêmes.
Bien que le monde de la logique ne soit pas parfait et que les mathématiciens ne s'appuient pas uniquement sur la logique, de nombreux logiciens à travers le monde continuent de mener des recherches actives pour trouver une base solide aux mathématiques.
La plupart des mathématiciens, consciemment ou inconsciemment, suivent la voie du formalisme mathématique prônée par Hilbert.
Même si nous savons qu'il n'y a pas de but ultime au bout de ce chemin que les mathématiciens recherchent, nous continuons à le suivre en croyant que c'est la bonne direction.
La partie 4 explique les concepts et symboles de base utilisés en mathématiques, tels que l'union, l'intersection, les fonctions et les suites, ainsi que l'induction mathématique, et présente la manière dont ces concepts sont utilisés dans les propositions et les arguments.
Il explique également comment le concept d'infini peut être traité logiquement grâce à la théorie des ensembles de Cantor.
Ici, l'infini désigne un ensemble infini, c'est-à-dire « un ensemble comportant une infinité d'éléments ».
Dans l'infini, il y a un grand infini et un petit infini.
Il explique également pourquoi il y a plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels parmi les nombres réels, combien l'infini plus grand est plus grand que l'infini plus petit, et quels problèmes surviennent lorsqu'il y a trop d'éléments dans un ensemble.
Leçons de logique pour un équilibre dans nos vies
Quand on parle de logique, on a tendance à la considérer comme un simple outil utilisé dans les arguments.
Mais la véritable logique consiste à affiner sa propre réflexion.
Même si vous êtes enclin à commettre des erreurs parce que vous vous laissez influencer par vos émotions, si vous avez une bonne formation logique basée sur le raisonnement, vous pouvez trouver une piste pour résoudre le problème et un bon équilibre.
Ce livre est particulièrement nécessaire pour notre société, où la culture émotionnelle est développée mais la culture logique est faible.
Je recommande aux lecteurs de le lire.
SPÉCIFICATIONS DES PRODUITS
- Date de publication : 1er juin 2023
- Nombre de pages, poids, dimensions : 316 pages | 145 × 210 × 30 mm
- ISBN13 : 9791130699745
- ISBN10 : 1130699749
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