Préface de l'auteur
Aperçu
Préface de l'éditeur

introduction

Chapitre 1 : Fondements de l'analyse complexe
1. Les nombres complexes et le plan complexe
1.1 Propriétés de base
1.2 Convergence
1.3 Ensembles du plan complexe
2 Fonctions dans le plan complexe
2.1 Fonctions continues
2.2 Fonctions régulières
Série 2.3 Puissance
3. Intégrale le long d'une courbe
Problèmes pratiques

Chapitre 2 Le théorème de Cauchy et ses applications
1. Résumé de Gursha
2. Existence locale de fonctions primitives sur les disques et théorème de Cauchy
3 Quelques calculs intégraux
4 Formule intégrale de Cauchy
5 applications supplémentaires
5.1 Théorème de Morera
5.2 Séquence de fonctions régulières
5.3 Fonctions analytiques complexes définies par des intégrales
5.4 Principe de réflexion de Schwarz
5.5 Théorème d'approximation de Runge
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 3 : Fonctions vitreuses et fonctions logarithmiques
1 Zéro et pôle
2. Formule de flux
2.1 Quelques exemples
3 Singularités et fonctions vitreuses
4. Principe et application de la déclinaison
5. Déformation continue et région de connexion simple
6 Fonction logarithmique complexe
7. Séries de Fourier et fonctions harmoniques
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 4 Transformée de Fourier
1 Ensemble de fonctions F
L'action de la transformée de Fourier dans 2 F
3 Théorème de Paley-Wiener
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 5 : Fonctions de prétraitement
1. Formule de Jensen
2 Fonctions à exposants croissants finis
3 produits infinis
3.1 Informations générales
3.2 Exemple : Formule du produit pour la fonction sinus
4. Produit infini de Weierstrass
5 Théorème de factorisation de Hadamard
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 6 Fonctions Gamma et Zeta
1 Fonction Gamma
1.1 Continuité analytique
1.2 Propriétés supplémentaires de Γ
2 Fonction Zeta
2.1 Équations fonctionnelles et continuité analytique
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 7 : Fonction zêta et théorème des nombres premiers
1. Zéro de la fonction zêta
1.1 Estimation de 1/ζ (s)
2 fonctions ψ et ψ1
2.1 Démonstration de l'équation asymptotique pour ψ1
3 Notes sur les séries doubles
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 8 Transformation conforme
1. Isomorphisme et exemples spécifiques
1.1 La plaque d'origine et le demi-plan supérieur
1.2 Un autre exemple
1.3 Problème de Dirichlet sur une courroie
2 Lemme de Schwarz : Automorphisme d'un disque et de son antiplan
2.1 Automorphisme de la plaque originale
2.2 Automorphisme de l'antiplan
3 Théorème de Riemann
3.1 Description et conditions nécessaires du théorème de représentation de Riemann
3.2 Théorème de Montel
3.3 Démonstration du théorème de représentation de Riemann
Transformation conforme en 4 polygones
4.1 Quelques exemples
4.2 Intégrale de Schwarz-Christoffel
4.3 Comportement à la limite
4.4 Expressions représentant des pensées
4.5 Retour à l'intégrale elliptique
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 9 : Introduction aux fonctions elliptiques
1 Fonction elliptique
1.1 Théorème de Riouville
1.2 Fonction p de Weierstrass
2. Modularité des fonctions elliptiques et séries d'Eisenstein
2.1 Série Eisenstein
2.2 Séries d'Eisenstein et fonctions de division
Problèmes pratiques
Problèmes avancés

Chapitre 10 Applications de la fonction thêta
1. Formule du produit pour la fonction thêta de Jacobi
1.1 Voir plus de règles de conversion
2 Fonction génératrice
Théorème sur la somme de trois carrés
3.1 Théorème des deux carrés
3.2 Théorème des quatre carrés
Problèmes pratiques
Problèmes avancés
Annexe A Estimation asymptotique
1 Fonction de Bessel
2. Méthode de Laplace : Formule de Stirling
3 Fonction Airy
4 fonctions de partition
Problèmes avancés

Annexe B Connectivité simple et théorème de la courbe de Jordan
1 Propositions équivalentes à une connectivité simple
2 Théorème de la courbe de Jordan
2.1 Démonstration du théorème général de Cauchy

Notes chapitre par chapitre
Références
Liste des symboles
Recherche