Introduction III

Chapitre 0 : Cahier d’exercices par domaine

Algèbre 2
Entier 3
Figure 3
Fonction 8
Cas 9 · Probabilité

Chapitre 1 : De magnifiques théorèmes à découvrir en mathématiques au collège

1. Trois démonstrations de la formule de la solution d'une équation quadratique 14
2 Quatre magnifiques démonstrations du théorème de Pythagore 17
3 Preuves de l'existence de la profondeur de l'eau 21
25 Trois démonstrations du théorème des quatre lignes (théorème d'Apollonius)
5. Longueur de la diagonale d'un pentagone régulier et sa méthode de construction 29
6 Formule pour le nombre de diviseurs et propriétés des carrés parfaits 32
Quatre démonstrations prouvant que 7 est un nombre irrationnel. 35
8 Comment résoudre les racines doubles ? 38
9. Comment trouver le nombre de cas de direction routière 42
10 Deux preuves de l'existence de cinq types de polyèdres réguliers 46
11 Problème 50 : Dénombrement des types de blocs de Tetris

Chapitre 2 : Formules légèrement différentes de celles du manuel

12 rapports trigonométriques utiles à retenir 56
Exemple 59 : Démonstration de la formule de Héron
14. Preuve et exemple de déplacement d'équilibre dans le graphique 64
15 Deux façons de représenter graphiquement les fonctions exponentielles 67
16 Trois façons de résoudre les fractions partielles 71
17 Formules de factorisation (Différence de carrés, Somme) 75
78 propriétés à retenir sur les nombres conjugués complexes à 18 éléments
19 Détermination des fonctions quadratiques et notions de base 81
Démonstration du théorème du cosinus à l'aide du produit scalaire de 20 vecteurs 85
21 Diverses inégalités triangulaires (valeurs absolues, nombres complexes, vecteurs) 89
22 Quatre propriétés de la symétrie à deux variables et de la symétrie fondamentale 93
23 Solutions entières des inégalités du premier ordre 97
24 Relation entre le rayon du cercle circonscrit et l'aire d'un triangle 100

Chapitre 3 : Quelle est la meilleure preuve, élégante ou cohérente ?

Démonstration des trois formules pour la distance entre un point et une ligne droite 104
26 Trois façons de trouver l'équation d'un plan 109
27 Comparaison de deux méthodes pour trouver l'angle entre deux droites 113
28 Théorème de Tchéba : Trois démonstrations 118
29 Démonstration et application du théorème 122 de Ptolémée
Démonstration et exemple de l'inégalité de Ptolémée 127
31 Diverses démonstrations d'inégalités 131
32 Cinq démonstrations de l'inégalité de Nesbitt 134
33 Diverses démonstrations de nombres avec un pi plus grand 138
34 Théorème de la quatrième puissance (Aire et projection orthogonale des figures) 143
35 Une belle preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers 147
36 Trois preuves que l'intervalle des nombres premiers n'a pas de maximum 150
37. Démonstration du théorème des polyèdres d'Euler 153

Chapitre 4 : De magnifiques théorèmes et formules dissimulés dans des sujets familiers

38 Comment calculer la probabilité d'un match nul au jeu pierre-feuille-ciseaux et sa valeur ? 158
39. Déterminez la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire. 161
40 Probabilité de faillite et formule d'allumage 165
41 Stratégie optimale pour le jeu Pierre-Feuille-Ciseaux et les questions de l'examen d'entrée à l'université de Tokyo 169
42 Nim (Jeu de la pierre multiple) Stratégie gagnante 173
43. Dérivation de la formule des projectiles paraboliques et méthodes pour augmenter la distance 178
44. Le triangle Luo et la figure régulière 182
Introduction au théorème des quatre couleurs et démonstration du théorème des cinq couleurs 185
46 Théorème de Ramsey et problème des six personnes 189
47 Graphes planaires et applications du théorème d'Euler 192

Chapitre 5 : Même les théorèmes et les formules difficiles deviennent amusants lorsqu’on en découvre l’essence.

Formule pour calculer le volume d'un tétraèdre aux coordonnées 48 : 198
49 Polynômes de Tchebychev 202
Démontrer que 50 est un nombre irrationnel 205
51 Formules pour la somme et le produit des angles intérieurs d'un triangle 208
52 Trois démonstrations du point de Fermat d'un triangle 213
53 idées de tentes et leur nature (Contexte de l'examen d'entrée à l'Université de Tokyo) 218
54 Formule de Cartano et exemples 222
55 Nombres et propriétés de Fermat 226
56 La signification des nombres catalans et leurs formules de récurrence 229
57 Probabilités et preuves liées à l'urne de Polya 233
58 Preuve du nombre de guerriers et du nombre de cloches : 236
59 Aire et somme des angles intérieurs d'un triangle inscrit dans une sphère 240
60 Théorème de Frank-Morley et démonstration 244

Index 248