Recommandation/Préface à l'édition coréenne/Préface

01 Grands Problèmes de Mathématiques
02 Conjecture de Goldbach d'un petit territoire
03 Le problème du cercle énigmatique de Pi
04 Puzzle de création de carte 4 couleurs
05 Symétrie de remplissage de l'espace Conjecture de Kepler
06 Nouvelles spéculations sur les modèles de solution pour les anciens
07 Marge insuffisante Dernier théorème de Fermat
08 Problème chaotique à trois corps en orbite
09 Hypothèse de Riemann sur le motif premier
Quelle est la forme d'une sphère ? La conjecture de Poincaré
11 Ce ne peut pas être aussi simple, le problème P/NP
12 Équations de Navier-Stokes et la pensée fluide
13. L'hypothèse du mystère quantique de l'écart de masse
14 Le rêve de Diophante : la conjecture Birch-Swinnerton-Dyer
15 Conjecture de Hodge sur les cycles complexes
16 Où devrions-nous aller maintenant ?
17 12 Problèmes pour l'avenir

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Un guide convivial pour découvrir 14 problèmes complexes qui ont marqué l'histoire des mathématiques !

Un problème majeur est celui de disposer d'un outil capable de générer efficacement l'énergie nécessaire à l'exploration…

Cette énergie se manifeste finalement dans des théories puissantes qui élargissent et enrichissent notre compréhension du vaste paysage mathématique.

— Kim Min-hyung (Professeur de mathématiques, Université d'Oxford)

En avril dernier, une information intéressante a fait la une des journaux.
Il a été rapporté que le professeur Yong-Min Cho de l'université Konkuk, un physicien, avait trouvé une solution à l'un des sept plus grands problèmes mathématiques du XXe siècle : la théorie de Yang-Mills et l'hypothèse de l'écart de masse.
Cette hypothèse était considérée comme un problème difficile représentatif du monde des mathématiques, avec un prix pouvant atteindre un million de dollars en jeu, et il semblerait qu'un chercheur coréen en ait trouvé la solution.
Bien que le débat se soit poursuivi sur les différences entre les perspectives mathématiques et physiques et sur la pertinence du terme « résolu », il a attiré l'attention du public sur les nombreux défis auxquels les mathématiques modernes n'ont pas encore trouvé de solutions.

À quel point un problème doit-il être difficile pour être qualifié de « problème difficile » ? En réalité, il existe de nombreux problèmes que les mathématiques modernes n'ont pas encore résolus, et parmi eux, les sept plus célèbres sont ceux considérés comme les « Sept plus grands problèmes de tous les temps ».
Ces sept grands problèmes ont été sélectionnés et annoncés par le Clay Mathematics Institute (CMI) aux États-Unis en 2000, et comprennent le problème P/NP, la conjecture de Hodge, la conjecture de Poincaré, l'hypothèse de Riemann, la théorie de Yang-Mills et l'hypothèse de l'écart de masse, les équations de Navier-Stokes et la conjecture de Butts-Swinnerton-Dyer.
L'Institut de mathématiques Clay attendait que des chercheurs s'attaquent à ces sept grands problèmes, également connus sous le nom de « Problèmes du Millénaire », avec un prix d'un million de dollars chacun, mais seul l'un d'eux, la conjecture de Poincaré, a jusqu'à présent eu une solution formalisée.

Des problèmes mathématiques que même les mathématiciens de génie ont du mal à résoudre.
Cependant, il arrive souvent que le problème en lui-même ne soit pas si difficile, mais que la recherche de la solution soit complexe.
Un exemple représentatif est le « dernier théorème de Fermat », dont tout le monde a probablement entendu parler au moins une fois.
Même si vous ne savez pas exactement ce que cela signifie ni comment le résoudre, c'est une formule qu'un élève de collège peut comprendre.

Ce livre, [Great Math Problems], est un livre qui résout 14 problèmes mathématiques difficiles, dont les « 7 plus grands problèmes du monde ».
Tout en expliquant le problème avec suffisamment de fidélité pour que le grand public puisse le comprendre, l'ouvrage aborde également la signification du problème, l'avenir que sa résolution apportera, et même les épisodes où des mathématiciens ont lutté pour le résoudre.

Ceci est dû en grande partie aux talents d'écriture de l'auteur Ian Stewart, professeur de mathématiques à l'université de Warwick au Royaume-Uni.
Fidèle à sa réputation de « meilleur vulgarisateur mathématique », il propose des explications intéressantes sur la façon dont ces problèmes mathématiques apparemment sans lien sont en réalité liés à nos vies.
La préface précise également que « la ligne directrice était d'expliquer les concepts tout en excluant de nombreuses formules ».

Par ailleurs, les propos du professeur Minhyung Kim, mathématicien de renommée mondiale, qui recommande que « les grands problèmes sont des outils qui génèrent l'énergie nécessaire à la longue exploration des mathématiques », constituent un tremplin bienvenu pour aborder les problèmes difficiles.

Une invitation à un défi mathématique douloureux mais fascinant, difficile mais intéressant !

Les énigmes mathématiques sont des questions posées par des mathématiciens de génie.
La « conjecture de Poincaré » mentionnée ci-dessus est une théorie que Poincaré, mathématicien de génie, a élaborée il y a environ 100 ans après avoir étudié l'espace tridimensionnel.
Cependant, cela n'avait pas été prouvé et était considéré comme une « conjecture », mais en 2003, le mathématicien russe Grigory Perelman l'a finalement prouvé.
Il est également connu comme le « mathématicien reclus » et est un excentrique unique qui a refusé le prix d'un million de dollars de l'Institut de mathématiques Clay, la médaille Fields, qui est le prix Nobel des mathématiques, et la plus haute distinction pour un chercheur, l'adhésion à l'Académie des sciences de Russie.

Il y a aussi des questions bizarres.
Le « dernier théorème de Fermat », que beaucoup connaissent de nom, commence par une note laissée par le mathématicien Fermat dans l’[Arithmétique] de Diophante.


« Il est impossible de diviser un cube en deux cubes, ou une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes, ou en général toute puissance supérieure à 2 en deux puissances de la même puissance. »
J'ai découvert une preuve vraiment étonnante de cela, mais l'espace est limité pour l'inclure.

Exprimé sous forme de formule, c'est très simple.
Cette formule simple et la note du génial mathématicien Fermat, qui disait : « J'ai découvert une démonstration, mais les marges sont trop étroites pour la contenir », ont touché la fierté des mathématiciens.
Ce n'était pas tout.
La communauté mathématique était en émoi car l'incapacité à démontrer un théorème simple signifiait qu'il manquait quelque chose d'essentiel à la théorie mathématique existante.
De nombreux mathématiciens ont tenté de le prouver, et finalement, en 1997, un mathématicien britannique du nom d'Andrew Wiles l'a prouvé.
Il découvrit ce théorème pour la première fois à l'âge de dix ans et fut déterminé à le résoudre ; il le prouva finalement à l'âge de quarante-deux ans après « sept années de recherches secrètes ».
Au final, il a fallu pas moins de 350 ans pour trouver la réponse.

Il existe aussi des mathématiciens de génie excentriques qui brûlent ce qu'ils savent.
L'« hypothèse de Riemann » concernant la régularité des nombres premiers est liée à des algorithmes cryptographiques largement utilisés aujourd'hui.
Certains craignent que si l'hypothèse de Riemann est prouvée, elle rende inefficace le système de cryptage d'Internet et paralyse le commerce électronique mondial.
Riemann a pu prouver que son hypothèse était correcte, mais il n'a pas pu prouver la proposition essentielle qui s'y rapportait (la fonction zêta).
Il s'était même érigé un mur de solitude, si bien qu'il a brûlé les preuves de son hypothèse sans la révéler.
Au cours des 150 années suivantes, des mathématiciens de renom ont tenté de prouver ou de réfuter l'hypothèse de Riemann, mais elle reste le Saint Graal des mathématiques.

De grands problèmes de mathématiques qui changeront notre avenir

Le sommet des mathématiques semble à portée de main, mais il n'est pas facile à atteindre.
Quelqu'un propose une nouvelle hypothèse, et quelqu'un d'autre la prouve.
Au milieu de tout cela, les mathématiques se développent et nos vies changent petit à petit.
Ian Stewart présente 14 grands problèmes mathématiques, ainsi que 12 autres qui pourraient changer notre avenir.
Ces problèmes incluent le problème de Broca, les nombres parfaits impairs, la conjecture de Collatz, l'irrationalité de la constante d'Euler, la conjecture ABC, les fourmis de Langton et la conjecture du coureur solitaire.
Parmi celles-ci, « Les fourmis de Langton » est particulièrement intéressante.
En 1986, l'Américain Christopher Langton a créé un modèle virtuel de « fourmis de Langton » et a mené une simulation, et les fourmis ont montré un certain schéma.
Cependant, les mécanismes qui contrôlent le comportement des fourmis restent une question ouverte.
Percer les secrets du comportement des fourmis de Langton pourrait nous aider à prédire les schémas de comportement des groupes humains, comme par exemple la façon dont 100 000 personnes se déplacent dans un stade.

Il y a également un problème avec le nom amusant de la « conjecture du coureur solitaire ».
Si n coureurs s'affrontent sur une piste circulaire à des vitesses différentes, à quel moment chaque coureur se retrouvera-t-il isolé ? La réponse a été trouvée et démontrée pour des cas comportant 4, 5, 6 et 7 coureurs, mais le problème avec 8 coureurs ou plus reste non résolu.
Trouver la réponse nous aidera à mieux comprendre et à mieux gérer la circulation urbaine.

Exemple) Quelle est la manière la plus dense de ranger des balles dans un espace limité ?

Bien que les énigmes mathématiques aient pu perturber les mathématiciens chaque fois qu'elles étaient révélées au monde, elles ont finalement grandement contribué au progrès des mathématiques.

Prenons par exemple le problème difficile appelé « théorème des 4 couleurs ».
Le théorème stipule que si l'on dit : « Coloriez la carte de manière à ce que les zones soient distinctes en utilisant le nombre minimal de couleurs », on peut colorier n'importe quelle carte complexe avec quatre couleurs.
Comment un problème aussi simple a-t-il pu devenir un défi mondial ? S’il est devenu un « problème difficile », c’est parce qu’il était difficile à « prouver ».
Appliquons cela à la vie réelle.
Lorsqu'ils jouent un match, ils portent généralement des uniformes d'une couleur différente de celle de l'équipe adverse.
Si 16 équipes participent à un tournoi, les couleurs des uniformes peuvent être déterminées de manière à ne pas se chevaucher avec celles des équipes adverses.
Un uniforme de quatre couleurs seulement suffit.

Que penser de la conjecture de Kepler ? Elle pose la question suivante : « Quelle est la manière la plus dense d'empiler des sphères dans un espace confiné ? »
Il a fallu 400 ans pour le prouver, mais la réponse est étonnamment simple.
Empilez-les un par un, comme le ferait n'importe quel autre commerçant de fruits.


14 problèmes difficiles qui ont bouleversé l'histoire des mathématiques !

■ Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.
conjecture de Goldbach
■ Pouvez-vous construire un carré ayant la même aire qu'un cercle donné ? Problème de l'aire d'un cercle
■ Lorsque a, b et c sont des entiers non nuls et n est un nombre naturel supérieur à 2, il n'existe aucun nombre naturel a, b et c qui satisfasse an + bn = cn.
Le dernier théorème de Fermat
■ Quel est le schéma commun aux nombres premiers comme 2, 3, 5 et 7 ? L’hypothèse de Riemann
■ Si toutes les courbes fermées sont contractées pour devenir un seul point, la forme de cet espace est semblable à une sphère.
conjecture de Poincaré
■ Pouvez-vous démontrer qu'une solution tridimensionnelle de cette équation existe toujours ? Équation de Navier-Stokes
■ Lorsque trois objets se déplacent tout en étant attirés les uns par les autres par la gravitation universelle, leurs orbites ne peuvent pas être déterminées.
problème à trois corps
■ Une carte peut-elle être colorée avec seulement quatre couleurs lorsque des surfaces adjacentes sont colorées de couleurs différentes ? Théorème des quatre couleurs
......
■ La conjecture de Kepler
■ Inférence de modèles
■ Problème P/NP
■ Hypothèse de l'écart de masse
■ Conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer
■ La conjecture de Hodge